উচ্চমাধ্যমিক পদার্থবিজ্ঞান ২য় পত্রের 'আধুনিক পদার্থবিজ্ঞানের সূচনা' অধ্যায়ের মাইকেলসন-মরলি পরীক্ষা, আপেক্ষিকতার তত্ত্ব, কাল দীর্ঘায়ন ও আলোকতড়িৎ ক্রিয়ার সহজ গাণিতিক ব্যাখ্যা ও সমাধান।
আধুনিক পদার্থবিজ্ঞানের পরিচয়
বিংশ শতাব্দীর সূচনালগ্নে পদার্থবিজ্ঞানের এক নতুন যুগের সূচনা ঘটে, যা আধুনিক পদার্থবিজ্ঞান নামে পরিচিত। ক্লাসিক্যাল পদার্থবিজ্ঞানে পদার্থ ও শক্তিকে যেভাবে ব্যাখ্যা করা হতো, নতুন আবিষ্কারগুলো সেই ধারণাকে চ্যালেঞ্জ করে।
১৮৯৭ সালে জে. জে. থমসন ইলেকট্রনের আবিষ্কার করেন। এর ফলে প্রমাণিত হয় যে পরমাণু অবিভাজ্য নয়। পরবর্তীতে ম্যাক্স প্ল্যাঙ্ক-এর কোয়ান্টাম তত্ত্ব (১৯০০) এবং আলবার্ট আইনস্টাইন-এর আপেক্ষিকতা তত্ত্ব (১৯০৫) আধুনিক পদার্থবিজ্ঞানের ভিত্তি স্থাপন করে।
প্রসঙ্গ কাঠামো (Frame of Reference)
কোন বস্তুর অবস্থান বা বেগ নির্ণয়ের জন্য যে ত্রিমাত্রিক স্থানাঙ্ক ব্যবস্থা ব্যবহার করা হয় তাকে প্রসঙ্গ কাঠামো বলা হয়।
পদার্থবিজ্ঞানে পরম স্থিরতা বা পরম গতি বলে কিছু নেই। সব ধরনের গতি ও স্থিরতা আপেক্ষিক।
প্রসঙ্গ কাঠামোর প্রকারভেদ
১. জড় প্রসঙ্গ কাঠামো (Inertial Frame)
- যেখানে নিউটনের গতিসূত্র প্রযোজ্য।
- পর্যবেক্ষক বুঝতে পারেন না তিনি স্থির নাকি সমবেগে গতিশীল।
- উদাহরণ: সমবেগে চলমান ট্রেন।
২. অজড় প্রসঙ্গ কাঠামো (Non-Inertial Frame)
- ত্বরণপ্রাপ্ত বা ঘূর্ণায়মান প্রসঙ্গ কাঠামো।
- এখানে নিউটনের সূত্র সরাসরি প্রযোজ্য নয়।
- উদাহরণ: ত্বরিত বা ধীরগামী ট্রেন, বাঁক নেওয়া গাড়ি।
মাইকেলসন-মরলি পরীক্ষা
এই পরীক্ষার উদ্দেশ্য ছিল আলোর পরিবাহক হিসেবে ধারণাকৃত ইথার (Ether) এর অস্তিত্ব যাচাই করা।
মূলনীতি
যদি ইথার বিদ্যমান থাকত, তবে পৃথিবীর গতির কারণে বিভিন্ন দিকে আলোর বেগ ভিন্ন হতো। ফলে ব্যতিচার রেখার স্থানচ্যুতি দেখা যেত।
উপরের চিত্রটি মাইকেলসন-মরলি পরীক্ষার (Michelson-Morley Experiment) জ্যামিতিক ও গাণিতিক রূপরেখা নির্দেশ করে। এখানে পুরো ব্যবস্থাটি (Apparatus) ইথার মাধ্যমের সাপেক্ষে $v$ বেগে ডানদিকে গতিশীল ধরা হয়েছে।
নিচে চিত্রানুসারে আলোক রশ্মি দুটির পথ এবং তাদের মধ্যকার পথপার্থক্য ও সময় ব্যবধানের গাণিতিক সূত্রটি ধাপে ধাপে প্রতিপাদন করা হলো:
১. আলোর গতিপথ ও বেগের বিশ্লেষণ
ধরি,
- ইথারের সাপেক্ষে পরীক্ষা ব্যবস্থার বেগ = $v$ (ডানদিকে)
- শূন্যস্থানে বা ইথারে আলোর বেগ = $c$
- আধা-প্রতিফলক কাচ প্লেট $G$ থেকে দর্পণ $M_1$ এবং $M_2$ এর আদি দূরত্ব যথাক্রমে $l_1$ এবং $l_2$। হিসাবের সুবিধার্থে সাধারণত ধরে নেওয়া হয়, $l_1 = l_2 = l$।
যখন আলো $G$ বিন্দু থেকে যাত্রা শুরু করে, তখন এটি দুটি লম্ব ভাগে বিভক্ত হয়:
- প্রথম রশ্মি (অনুদৈর্ঘ্য পথ): গতিপথের সমান্তরালে $M_1$ দর্পণের দিকে যায়।
- দ্বিতীয় রশ্মি (অণুপ্রস্থ পথ): গতিপথের সাথে লম্বভাবে $M_2$ দর্পণের দিকে যায়।
২. গতির অভিমুখে (অনুদৈর্ঘ্য) রশ্মির প্রয়োজনীয় সময় ($t_1$)
পরীক্ষা ব্যবস্থাটি ডানদিকে $v$ বেগে গতিশীল থাকায়, আলো যখন $G$ থেকে $M_1$ এর দিকে যায়, তখন $M_1$ দর্পণটিও দূরে সরে যেতে থাকে। ফলে আপেক্ষিক বেগ হয় $(c - v)$।
আবার, $M_1$ থেকে প্রতিফলিত হয়ে যখন আলো $G$ এর দিকে (যা এখন $O'$ অবস্থানে চলে এসেছে) ফিরে আসে, তখন আপেক্ষিক বেগ হয় $(c + v)$।
অতএব, $M_1$ দর্পণে গিয়ে ফিরে আসতে মোট প্রয়োজনীয় সময় $t_1$:
$$t_1 = \frac{l_1}{c - v} + \frac{l_1}{c + v}$$
লসাগু করে পাই:
$$t_1 = l_1 \left( \frac{c + v + c - v}{c^2 - v^2} \right) = \frac{2l_1c}{c^2 - v^2}$$
লব ও হরকে $c^2$ দ্বারা ভাগ করে:
$$t_1 = \frac{2l_1}{c} \cdot \frac{1}{1 - \frac{v^2}{c^2}} = \frac{2l_1}{c} \left(1 - \frac{v^2}{c^2}\right)^{-1}$$
দ্বিপদী উপপাদ্য (Binomial Theorem) ব্যবহার করে উচ্চতর ঘাত বর্জন করলে [যেহেতু $v \ll c$]:
$$t_1 \approx \frac{2l_1}{c} \left(1 + \frac{v^2}{c^2}\right) \quad \text{--- (১)}$$
৩. গতির লম্ব অভিমুখে (অণুপ্রস্থ) রশ্মির প্রয়োজনীয় সময় ($t_2$)
চিত্রানুসারে, আলো যখন লম্বভাবে $M_2$ দর্পণের দিকে রওনা হয়, তখন পুরো ব্যবস্থাটি ডানদিকে $v$ বেগে সরে যাওয়ার কারণে আলোকে আসলে অতিভুজ বরাবর বাঁকা পথে ($OG \to M'_2 \to O'G'$) যাতায়াত করতে হয়।
যদি $G$ থেকে $M'_2$ তে পৌঁছাতে $t'_2$ সময় লাগে, তবে এই সময়ে দর্পণটি অনুভূমিকভাবে $vt'_2$ দূরত্ব অতিক্রম করে এবং আলো নিজে $ct'_2$ দূরত্ব অতিক্রম করে।
পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুসারে চিত্র থেকে পাই:
$$(ct'_2)^2 = l_2^2 + (vt'_2)^2$$
$$c^2 (t'_2)^2 - v^2 (t'_2)^2 = l_2^2$$
$$(t'_2)^2 (c^2 - v^2) = l_2^2 \implies t'_2 = \frac{l_2}{\sqrt{c^2 - v^2}}$$
আলোর ফিরে আসতেও সমপরিমাণ সময় লাগবে। সুতরাং, অণুপ্রস্থ পথে মোট সময় $t_2$:
$$t_2 = 2t'_2 = \frac{2l_2}{\sqrt{c^2 - v^2}}$$
লব ও হরকে $c$ দ্বারা ভাগ করে পাই:
$$t_2 = \frac{2l_2}{c \sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}} = \frac{2l_2}{c} \left(1 - \frac{v^2}{c^2}\right)^{-1/2}$$
দ্বিপদী উপপাদ্য প্রয়োগ করে উচ্চতর ঘাত বর্জন করলে:
$$t_2 \approx \frac{2l_2}{c} \left(1 + \frac{1}{2}\frac{v^2}{c^2}\right) \quad \text{--- (২)}$$
৪. সময় ব্যবধান ($\Delta t$)
ধরা যাক বাহু দুটি সমান, অর্থাৎ $l_1 = l_2 = l$।
তাহলে সমীকরণ (১) ও (২) থেকে আলোক রশ্মি দুটির দূরবীন $T$-তে পৌঁছানোর সময়ের পার্থক্য:
$$\Delta t = t_1 - t_2$$
$$\Delta t = \frac{2l}{c} \left(1 + \frac{v^2}{c^2}\right) - \frac{2l}{c} \left(1 + \frac{1}{2}\frac{v^2}{c^2}\right)$$
$$\Delta t = \frac{2l}{c} \left[ 1 + \frac{v^2}{c^2} - 1 - \frac{1}{2}\frac{v^2}{c^2} \right]$
$$\Delta t = \frac{2l}{c} \cdot \left(\frac{1}{2}\frac{v^2}{c^2}\right)$$
$$\Delta t = \frac{lv^2}{c^3} \quad \text{--- (৩)}$$
৫. পথপার্থক্য এবং ফ্রিঞ্জ সরে যাওয়ার সূত্র
সময়ের এই পার্থক্যের কারণে রশ্মি দুটির মধ্যে একটি পথপার্থক্য (Path Difference) তৈরি হবে।
$$\text{পথপার্থক্য}, \Delta x = c \times \Delta t = c \times \frac{lv^2}{c^3} = \frac{lv^2}{c^2}$$
দর্পণদ্বয় ৯০° ঘোরানোর পর:
মাইকেলসন ও মরলি তাদের পরীক্ষা ব্যবস্থার অক্ষদ্বয়কে ৯০° ঘুরিয়ে নিয়েছিলেন যাতে বাহু দুটির ভূমিকা অদলবদল হয়। এর ফলে পথপার্থক্য বিপরীত হয়ে যায় এবং মোট কার্যকরী পথপার্থক্য দাঁড়ায়:
$$\Delta x' = 2 \cdot \Delta x = \frac{2lv^2}{c^2}$$
যদি ব্যবহৃত আলোর তরঙ্গদৈর্ঘ্য $\lambda$ হয়, তবে দূরবীনে ফ্রিঞ্জের বা ব্যতিচার পট্টির যে সরণ ($N$) ঘটবে তার গাণিতিক সূত্রটি হলো:
$$N = \frac{\Delta x'}{\lambda} = \frac{2lv^2}{\lambda c^2}$$
যেখানে,
- \(l\) = ইন্টারফেরোমিটারের বাহুর দৈর্ঘ্য
- \(v\) = পৃথিবীর বেগ
- \(c\) = আলোর বেগ
- \(\lambda\) = আলোর তরঙ্গদৈর্ঘ্য
ফলাফল
- কোন ব্যতিচার রেখা স্থানচ্যুতি দেখা যায়নি।
- ইথারের অস্তিত্বের পক্ষে কোনো প্রমাণ পাওয়া যায়নি।
- শূন্যস্থানে আলোর বেগ ধ্রুব।
আইনস্টাইনের আপেক্ষিকতা তত্ত্ব
আইনস্টাইন দেখিয়েছেন যে স্থান, কাল, ভর এবং শক্তি পরম নয়, বরং পর্যবেক্ষকের গতির উপর নির্ভরশীল।
আপেক্ষিকতা তত্ত্বের প্রকারভেদ
১. বিশেষ আপেক্ষিকতা তত্ত্ব (Special Theory of Relativity)
- জড় প্রসঙ্গ কাঠামোর জন্য প্রযোজ্য।
- ভর, সময়, দৈর্ঘ্য, শক্তি ইত্যাদির আপেক্ষিকতা ব্যাখ্যা করে।
২. সাধারণ আপেক্ষিকতা তত্ত্ব (General Theory of Relativity)
- অজড় প্রসঙ্গ কাঠামোর জন্য প্রযোজ্য।
- মহাকর্ষ ও মহাজাগতিক ঘটনাবলি ব্যাখ্যা করে।
বিশেষ আপেক্ষিকতা তত্ত্বের স্বীকার্য
প্রথম স্বীকার্য
সব জড় প্রসঙ্গ কাঠামোতে পদার্থবিজ্ঞানের সূত্রসমূহ একই রূপে প্রযোজ্য।
দ্বিতীয় স্বীকার্য
শূন্যস্থানে আলোর বেগ সকল পর্যবেক্ষকের জন্য সমান।
$$ c = 3\times10^8 \, m/s $$
গ্যালিলীয় রূপান্তর (Galilean Transformation)
ধরা যাক \(S'\) কাঠামোটি \(S\)-এর সাপেক্ষে \(v\) বেগে চলছে।
$$ x'=x-vt $$
$$ y'=y $$
$$ z'=z $$
$$ t'=t $$
এখানে সময়কে পরম ধরা হয়েছে।
লরেঞ্জ রূপান্তর (Lorentz Transformation)
বিশেষ আপেক্ষিকতা তত্ত্বের সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণ রূপান্তর হলো লরেঞ্জ রূপান্তর।
$$ x'=\frac{x-vt}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}} $$
$$ y'=y $$
$$ z'=z $$
$$ t'=\frac{t-\frac{vx}{c^2}} {\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}} $$
বিশেষ আপেক্ষিকতার ফলাফল
দৈর্ঘ্য সংকোচন (Length Contraction)
$$ L=L_0\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}} $$
যেখানে \(L_0\) হলো প্রকৃত দৈর্ঘ্য।
সময় প্রসারণ (Time Dilation)
$$ t=\frac{t_0} {\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}} $$
চলন্ত ঘড়ি ধীরে চলে।
ভরের বৃদ্ধি
$$ m=\frac{m_0} {\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}} $$
ভর-শক্তি সমতা
আইনস্টাইনের বিখ্যাত সমীকরণ:
0অর্থাৎ ভর ও শক্তি একই মৌলিক রাশির দুটি ভিন্ন রূপ।
শক্তি-ভরবেগ সম্পর্ক:
$$ E^2=(pc)^2+(m_0c^2)^2 $$
কৃষ্ণবস্তু বিকিরণ (Black Body Radiation)
কৃষ্ণবস্তু এমন একটি আদর্শ বস্তু যা সকল তরঙ্গদৈর্ঘ্যের তড়িৎচৌম্বক বিকিরণ সম্পূর্ণ শোষণ করে।
ভিয়েনের সরণ সূত্র
$$ \lambda_mT=k $$
যেখানে
$$ k=2.9\times10^{-3}\;mK $$
প্ল্যাঙ্কের কোয়ান্টাম তত্ত্ব
প্ল্যাঙ্ক প্রস্তাব করেন যে শক্তি অবিচ্ছিন্নভাবে নয়, ক্ষুদ্র ক্ষুদ্র প্যাকেট বা কোয়ান্টা আকারে নির্গত হয়।
শক্তি:
$$ E=hf $$
যেখানে
- \(h\) = প্ল্যাঙ্ক ধ্রুবক
- \(f\) = কম্পাঙ্ক
ফটোতড়িৎ ক্রিয়া
উপযুক্ত কম্পাঙ্কের আলো ধাতব পৃষ্ঠে আপতিত হলে ইলেকট্রন নির্গত হয়।
আইনস্টাইনের ফটোতড়িৎ সমীকরণ
$$ hf=W_0+K_{max} $$
এখানে,
- \(W_0\) = কার্যফলন
- \(K_{max}\) = সর্বাধিক গতিশক্তি
বিরোধী বিভবের ক্ষেত্রে:
$$ eV_0=hf-W_0 $$
আলোর দ্বৈত প্রকৃতি
- তরঙ্গ ধর্ম: ব্যতিচার, অপবর্তন, বিচ্ছুরণ।
- কণা ধর্ম: ফটোতড়িৎ ক্রিয়া, কম্পটন প্রভাব।
ডি-ব্রগলি তত্ত্ব
চলমান প্রতিটি কণার সাথে একটি তরঙ্গ যুক্ত থাকে।
ডি-ব্রগলি তরঙ্গদৈর্ঘ্য:
$$ \lambda=\frac{h}{p} $$
অথবা,
$$ \lambda=\frac{h}{mv} $$
কম্পটন প্রভাব
এক্স-রশ্মি ইলেকট্রনের সাথে সংঘর্ষ করলে তরঙ্গদৈর্ঘ্য বৃদ্ধি পায়।
কম্পটন সরণ:
$$ \Delta\lambda = \lambda'-\lambda = \frac{h}{m_0c} (1-\cos\phi) $$
হাইজেনবার্গের অনিশ্চয়তা নীতি
কোনো কণার অবস্থান ও ভরবেগ একই সাথে নির্ভুলভাবে নির্ণয় করা সম্ভব নয়।
$$ \Delta x \Delta p \ge \hbar $$
এবং,
$$ \Delta E \Delta t \ge \hbar $$
যেখানে,
$$ \hbar=\frac{h}{2\pi} $$
উপসংহার: ক্লাসিক্যাল বা চিরশায়ত পদার্থবিজ্ঞানের সীমাবদ্ধতা কাটিয়ে মহাবিশ্বের চরম সত্যকে উন্মোচন করার পেছনে 'আধুনিক পদার্থবিজ্ঞানের সূচনা' অধ্যায়টির অবদান অনস্বীকার্য। অ্যালবার্ট আইনস্টাইনের আপেক্ষিকতার তত্ত্ব থেকে শুরু করে প্লাঙ্কের কোয়ান্টাম তত্ত্ব এবং হাইজেনবার্গের অনিশ্চয়তা নীতি—প্রতিটি বিষয়ই আমাদের চেনা জগতের বাইরে এক নতুন ও রোমাঞ্চকর দৃষ্টিভঙ্গি দান করে। এইচএসসি পরীক্ষা কিংবা যেকোনো প্রতিযোগিতামূলক পরীক্ষার জন্য এই অধ্যায়ের গাণিতিক সূত্র ও মৌলিক ধারণাগুলো সমানভাবে গুরুত্বপূর্ণ। আশা করি, এই আর্টিকেলে উপস্থাপিত চিত্রসহ সহজ গাণিতিক প্রতিপাদন ও ব্যাখ্যাগুলো আপনাদের এই অধ্যায়ের ভীতি দূর করতে এবং পরীক্ষার প্রস্তুতিকে আরও এক ধাপ এগিয়ে নিতে সাহায্য করবে।
