গোলীয় দর্পণের বিস্তারিত আলোচনা—সংজ্ঞা, দর্পণ সংক্রান্ত গুরুত্বপূর্ণ রাশি, বিম্ব গঠনের নিয়ম, রশ্মিচিত্র অংকন পদ্ধতি, রৈখিক বিবর্ধন ও সৃজনশীল প্রশ্নের সমাধানসহ সম্পূর্ণ গাইড। SSC ও HSC শিক্ষার্থীদের জন্য উপযোগী।
গোলীয় দর্পণ (Spherical Mirror)
গোলীয় পৃষ্ঠে আলোর নিয়মিত প্রতিফলন ঘটানোর জন্য গোলীয় দর্পণ ব্যবহৃত হয়। কোনো ফাঁপা গোলকের অংশবিশেষের পৃষ্ঠ যদি মসৃণ হয় এবং সেখানে আলোর নিয়মিত প্রতিফলন ঘটে, তবে তাকে গোলীয় দর্পণ বলে।
একটি স্বচ্ছ ফাঁপা গোলকের নির্দিষ্ট অংশ কেটে নিয়ে তার যেকোনো এক পৃষ্ঠে পারদ বা রুপার প্রলেপ (পারা লাগানো) দিয়ে গোলীয় দর্পণ তৈরি করা হয়। [ চিত্রঃ ১ ও ২]
দর্পণটি প্রধানত দুই প্রকারের হয়ে থাকে:
- অবতল দর্পণ (Concave Mirror): যদি কোনো গোলীয় দর্পণের ভেতরের বা অবতল পৃষ্ঠটি প্রতিফলক হিসেবে কাজ করে, তবে তাকে অবতল দর্পণ বলে। অর্থাৎ, গোলকের কর্তিত অংশের বাইরের (উত্তল) পৃষ্ঠে পারা লাগালে ভেতরের মসৃণ পৃষ্ঠটি অবতল দর্পণ হিসেবে কাজ করে। [ চিত্রঃ ১]
- উত্তল দর্পণ (Convex Mirror): যদি কোনো গোলীয় দর্পণের বাইরের বা উত্তল পৃষ্ঠটি প্রতিফলক হিসেবে কাজ করে, তবে তাকে উত্তল দর্পণ বলে। এক্ষেত্রে গোলকের কর্তিত অংশের ভেতরের (অবতল) পৃষ্ঠে পারা লাগানো হয়, ফলে বাইরের উঁচু পৃষ্ঠটি প্রতিফলক হিসেবে কাজ করে। [ চিত্রঃ ২]
প্রয়োজনীয় কিছু সংজ্ঞা
গোলীয় দর্পণের বিভিন্ন জ্যামিতিক ধর্ম বোঝার জন্য নিচের বিষয়গুলো অত্যন্ত গুরুত্বপূর্ণ:
- মেরু (Pole): গোলীয় দর্পণের প্রতিফলক পৃষ্ঠের ঠিক মধ্যবিন্দুকে এর মেরু বলা হয়। অবতল দর্পণের ক্ষেত্রে এটি প্রতিফলক পৃষ্ঠের গভীরতম বিন্দু এবং উত্তল দর্পণের ক্ষেত্রে এটি পৃষ্ঠের সর্বোচ্চ বিন্দু। [ চিত্রে P বিন্দু হলো মেরু ]
- বক্রতার কেন্দ্র (Center of Curvature): গোলীয় দর্পণটি যে গোলকের অংশ, সেই গোলকের কেন্দ্রকেই উক্ত দর্পণের বক্রতার কেন্দ্র বলে। এটি একটি নির্দিষ্ট বিন্দু। [ চিত্রে C বিন্দু হলো বক্রতার কেন্দ্র ]
- বক্রতার ব্যাসার্ধ (Radius of Curvature): দর্পণটি যে গোলকের অংশ, সেই গোলকের ব্যাসার্ধকে দর্পণের বক্রতার ব্যাসার্ধ বলে। সহজভাবে, মেরু থেকে বক্রতার কেন্দ্র পর্যন্ত দূরত্বই হলো বক্রতার ব্যাসার্ধ। একে সাধারণত $r$ দ্বারা প্রকাশ করা হয়। [ চিত্রে PC দৈর্ঘ্য হলো বক্রতার বক্রতার ব্যাসার্ধ ]
- প্রধান অক্ষ (Principal Axis): দর্পণের মেরু এবং বক্রতার কেন্দ্রের মধ্য দিয়ে গমনকারী সরলরেখাকে প্রধান অক্ষ বলে। [ চিত্রে P ও C বিন্দুর উভয় দিকে বর্ধিতাংশ প্রধান অক্ষ ]
- গৌণ অক্ষ (Secondary Axis): দর্পণের মেরু ছাড়া প্রতিফলক পৃষ্ঠের ওপর অবস্থিত অন্য যেকোনো বিন্দু এবং বক্রতার কেন্দ্রের সংযোগকারী সরলরেখাকে গৌণ অক্ষ বলা হয়। উল্লেখ্য যে, প্রধান ও গৌণ উভয় অক্ষই দর্পণের পৃষ্ঠের ওপর লম্ব। [ চিত্রে CP']
- প্রধান ফোকাস (Principal Focus): প্রধান অক্ষের সমান্তরাল ও নিকটবর্তী একগুচ্ছ আলোক রশ্মি দর্পণে প্রতিফলিত হওয়ার পর প্রধান অক্ষের ওপর যে বিন্দুতে মিলিত হয় (অবতল দর্পণের ক্ষেত্রে) [ চিত্র ৩ (ক)] কিংবা যে বিন্দু থেকে অপসৃত বা বিচ্ছুরিত হচ্ছে বলে মনে হয় (উত্তল দর্পণের ক্ষেত্রে),[ চিত্র ৩ (ক)] সেই বিন্দুকে প্রধান ফোকাস বলে। অবতল দর্পণের ক্ষেত্রে এটি একটি বাস্তব (সদ) বিন্দু এবং উত্তল দর্পণের ক্ষেত্রে এটি একটি অবাস্তব (অসদ) বিন্দু।
- ফোকাস দূরত্ব (Focal Length): দর্পণের মেরু থেকে প্রধান ফোকাস পর্যন্ত রৈখিক দূরত্বকে ফোকাস দূরত্ব বলা হয়। [ চিত্রে PF] একে ইংরেজি ছোট হাতের অক্ষর $f$ দ্বারা প্রকাশ করা হয়।
- ফোকাস তল (Focal Plane): দর্পণের প্রধান ফোকাসের মধ্য দিয়ে এবং প্রধান অক্ষের সাথে লম্বভাবে অবস্থিত কাল্পনিক সমতলকে ফোকাস তল বলা হয়।
অবতল ও উত্তল দর্পণে রশ্মি চিত্র অঙ্কনের ৩টি সহজ নিয়ম
১. বক্রতার ব্যাসার্ধ বরাবর আপতিত রশ্মি
যদি কোনো আলোক রশ্মি দর্পণের বক্রতার কেন্দ্র (C) বরাবর আপতিত হয়, তবে তা প্রতিফলনের পর আবার সেই একই পথেই ফিরে আসে।
- অবতল দর্পণে: রশ্মিটি সরাসরি কেন্দ্র দিয়ে যায়।
- উত্তল দর্পণে: রশ্মিটি কেন্দ্র বরাবর আপতিত হচ্ছে বলে মনে হয়।
২. প্রধান অক্ষের সমান্তরাল আপতিত রশ্মি
প্রধান অক্ষের সমান্তরালভাবে আসা কোনো রশ্মি প্রতিফলনের পর:
- অবতল দর্পণে: প্রধান ফোকাস (F) দিয়ে যায়।
- উত্তল দর্পণে: প্রধান ফোকাস (F) থেকে আসছে বলে মনে হয়।
৩. প্রধান ফোকাস দিয়ে আপতিত রশ্মি
এটি দ্বিতীয় নিয়মের ঠিক উল্টো। কোনো রশ্মি যদি প্রধান ফোকাস (F) দিয়ে বা ফোকাস অভিমুখে দর্পণে আপতিত হয়:
- প্রতিফলনের পর সেটি প্রধান অক্ষের সমান্তরাল হয়ে ফিরে যায়।
বিস্তৃত বস্তুর বিম্ব (Image of an Extended Object)
যেকোনো বিস্তৃত লক্ষ্যবস্তু মূলত অসংখ্য বিন্দু-বস্তুর সমষ্টি। এই প্রতিটি বিন্দু-বস্তুর বিম্বের অবস্থান নির্ণয় করার মাধ্যমেই সমগ্র বস্তুটির বিম্ব পাওয়া সম্ভব। জ্যামিতিক পদ্ধতিতে কোনো সরল বিস্তৃত বস্তুর বিম্ব গঠনের জন্য রশ্মিচিত্রের সাহায্যে বস্তুটির দুই প্রান্তবিন্দুর (সর্বোচ্চ ও সর্বনিম্ন) বিম্ব অঙ্কন করা হয়। এরপর এই বিম্বদ্বয়কে একটি সরলরেখা দ্বারা যুক্ত করলেই সম্পূর্ণ লক্ষ্যবস্তুটির বিম্বের অবস্থান ও প্রকৃতি বোঝা যায়।
অবতল দর্পণ
ধরা যাক, MPM' একটি অবতল দর্পণ, যার মেরু P, প্রধান ফোকাস F এবং বক্রতার কেন্দ্র C। দর্পণের সম্মুখে প্রধান অক্ষের ওপর লম্বভাবে OA একটি বিস্তৃত লক্ষ্যবস্তু অবস্থিত। বস্তুটির বিম্ব গঠনের প্রক্রিয়াটি নিম্নরূপ:
OA লক্ষ্যবস্তুর শীর্ষবিন্দু O থেকে একটি আলোক রশ্মি প্রধান অক্ষের সমান্তরালভাবে OM পথে দর্পণে আপতিত হয়ে প্রধান ফোকাস F-এর মধ্য দিয়ে MI পথে প্রতিফলিত হয়। অপর একটি রশ্মি বক্রতার কেন্দ্র C-এর মধ্য দিয়ে দর্পণে আপতিত হয়ে প্রতিফলনের পর পুনরায় একই পথে ফিরে আসে। এই প্রতিফলিত রশ্মি দুটি পরস্পর I বিন্দুতে মিলিত হয়। সুতরাং, I হলো O বিন্দুর একটি সদ বিম্ব।
যেহেতু লক্ষ্যবস্তুটি প্রধান অক্ষের ওপর লম্বভাবে দন্ডায়মান, তাই I বিন্দু থেকে প্রধান অক্ষের ওপর অঙ্কিত IB লম্বই হবে OA লক্ষ্যবস্তুর পূর্ণাঙ্গ বিম্ব। এক্ষেত্রে গঠিত বিম্বটি সদ, উল্টো এবং লক্ষ্যবস্তুর তুলনায় আকারে ছোট (খর্বিত)।
উত্তল দর্পণ
ধরা যাক, MPM' একটি উত্তল দর্পণ। এর প্রধান অক্ষ PC, বক্রতার কেন্দ্র C, প্রধান ফোকাস F এবং মেরু P। দর্পণের সামনে প্রধান অক্ষের ওপর লম্বভাবে OA একটি বিস্তৃত লক্ষ্যবস্তু অবস্থিত।
O বিন্দু থেকে একটি আলোক রশ্মি প্রধান অক্ষের সমান্তরালভাবে দর্পণের M বিন্দুতে আপতিত হয় এবং প্রতিফলনের পর এমনভাবে বিচ্যুত হয় যেন মনে হয় তা প্রধান ফোকাস F থেকে আসছে। অন্য একটি রশ্মি বক্রতার কেন্দ্র C অভিমুখে দর্পণে লম্বভাবে আপতিত হয়ে একই পথে প্রতিফলিত হয়।
এই অপসারী প্রতিফলিত রশ্মি দুটিকে পিছনের দিকে বর্ধিত করলে তারা পরস্পর I বিন্দুতে মিলিত হচ্ছে বলে মনে হয়। ফলে I বিন্দুটি হলো O বিন্দুর একটি অসদ বিম্ব। এখন I বিন্দু থেকে প্রধান অক্ষের ওপর IB লম্ব অঙ্কন করলে, এই IB-ই হবে OA লক্ষ্যবস্তুর পূর্ণাঙ্গ বিম্ব। উত্তল দর্পণে গঠিত এই বিম্বটি সর্বদা অসদ, সোজা এবং আকারে খর্বিত হয়।
রৈখিক বিবর্ধন
Linear Magnification
বিম্ব লক্ষবস্তুর তুলনায় কত গুণ বড় বা ছোট রৈখিক বিবর্ধন দ্বারা তা বুঝা যায়।
বিম্বের দৈর্ঘ্য ও লক্ষবস্তুর দৈর্ঘ্যের অনুপাতকে রৈখিক বিবর্ধন বলে।
কোনো লক্ষবস্তুর দৈর্ঘ্য \( L_o \) এবং বিম্বের দৈর্ঘ্য \( L_i \) হলে রৈখিক বিবর্ধন,
\(m\) = (বিম্বের দৈর্ঘ্য)/(লক্ষবস্তুর দৈর্ঘ্য)
\[ m = \frac{L_i}{L_o} \]
বিবর্ধনের মান ১-এর বেশি হলে বিম্বটি বিবর্ধিত হবে অর্থাৎ, বিম্ব লক্ষবস্তুর তুলনায় বড় হবে।
বিবর্ধনের মান ১-এর সমান হলে বিম্ব লক্ষবস্তুর সমান হবে।
বিবর্ধনের মান ১-এর কম হলে বিম্বটি খর্বিত হবে অর্থাৎ, বিম্ব লক্ষবস্তুর তুলনায় ছোট হবে।
সৃজনশীল উদ্দীপক
একটি অবতল দর্পণের বক্রতার ব্যাসার্ধ 20 cm। দর্পণটির সামনে প্রধান অক্ষের ওপর মেরু থেকে 15 cm দূরে একটি লক্ষ্যবস্তু রাখা হলো। লক্ষ্যবস্তুটির দৈর্ঘ্য 5 cm।
প্রশ্নসমূহ:
(ক) প্রধান ফোকাস কাকে বলে?
(খ) দর্পণের রৈখিক বিবর্ধন 0.5 বলতে কী বোঝায়?
(গ) উদ্দীপকের লক্ষ্যবস্তুটির বিম্বের দূরত্ব নির্ণয় করো।
(ঘ) উদ্দীপকের আলোকে রৈখিক বিবর্ধন ব্যবহার করে বিম্বের প্রকৃতি ও দৈর্ঘ্য
বিশ্লেষণ করো।
সমাধান
(ক) উত্তর:
গোলীয় দর্পণের প্রধান অক্ষের সমান্তরাল ও নিকটবর্তী রশ্মিগুচ্ছ দর্পণে প্রতিফলিত হওয়ার পর প্রধান অক্ষের ওপর যে বিন্দুতে মিলিত হয় (অবতল দর্পণে) বা যে বিন্দু থেকে অপসৃত হচ্ছে বলে মনে হয় (উত্তল দর্পণে), তাকে ওই দর্পণের প্রধান ফোকাস বলে।
(খ) উত্তর:
রৈখিক বিবর্ধন $m = 0.5$ বলতে বোঝায়—
- বিম্বের দৈর্ঘ্য লক্ষ্যবস্তুর দৈর্ঘ্যের অর্ধেক।
- বিম্বটি লক্ষ্যবস্তুর তুলনায় আকারে ছোট বা খর্বিত। গাণিতিকভাবে, $L' = 0.5 \times L$ (যেখানে $L'$ বিম্বের দৈর্ঘ্য এবং $L$ লক্ষ্যবস্তুর দৈর্ঘ্য)।
(গ) উত্তর:
এখানে দেওয়া আছে,
বক্রতার ব্যাসার্ধ, $r = 20 \text{ cm}$
ফোকাস দূরত্ব, $f = \frac{r}{2} = \frac{20}{2} = 10 \text{ cm}$
লক্ষ্যবস্তুর দূরত্ব, $u = 15 \text{ cm}$
বিম্বের দূরত্ব, $v = ?$
আমরা জানি,
$$\frac{1}{v} + \frac{1}{u} = \frac{1}{f}$$ $$\Rightarrow \frac{1}{v} = \frac{1}{10} - \frac{1}{15}$$ $$\Rightarrow \frac{1}{v} = \frac{3 - 2}{30}$$ $$\Rightarrow \frac{1}{v} = \frac{1}{30}$$ $$\therefore v = 30 \text{ cm}$$
অতএব, বিম্বটি দর্পণের সামনে 30 cm দূরে গঠিত হবে।
(ঘ) উত্তর:
'গ' হতে আমরা পাই, লক্ষ্যবস্তুর দূরত্ব $u = 15 \text{ cm}$ এবং বিম্বের দূরত্ব $v = 30 \text{ cm}$।
রৈখিক বিবর্ধন নির্ণয়:
আমরা জানি, রৈখিক বিবর্ধন, $m = \left| -\frac{v}{u} \right|$ $$m = \frac{30}{15} = 2$$
বিম্বের দৈর্ঘ্য নির্ণয়:
দেওয়া আছে লক্ষ্যবস্তুর দৈর্ঘ্য, $L = 5 \text{ cm}$।
আমরা জানি, $m = \frac{L'}{L}$ (এখানে $L'$ হলো বিম্বের দৈর্ঘ্য) $$\Rightarrow L' = m \times L$$ $$\Rightarrow L' = 2 \times 5 = 10 \text{ cm}$$
বিশ্লেষণ:
- যেহেতু বিবর্ধন $m = 2$, অর্থাৎ $m > 1$, তাই বিম্বটি লক্ষ্যবস্তুর চেয়ে বড় বা বিবর্ধিত।
- বিম্বের দৈর্ঘ্য 10 cm, যা লক্ষ্যবস্তুর দৈর্ঘ্যের দ্বিগুণ।
- যেহেতু $v$ এর মান ধনাত্মক ($30 \text{ cm}$), তাই বিম্বটি দর্পণের সামনে গঠিত হয়েছে। অর্থাৎ বিম্বটি বাস্তব ও উল্টো।
সৃজনশীল প্রশ্ন
উদ্দীপক: নিচের চিত্রটি লক্ষ্য করো:
ক) প্রধান ফোকাস কাকে বলে?
খ) দর্পণের পেছনে কেন রুপার প্রলেপ দেওয়া হয়? ব্যাখ্যা করো।
গ) উদ্দীপকের দর্পণটির বক্রতার ব্যাসার্ধ $40\text{ cm}$ হলে, এর ফোকাস
দূরত্ব কত? গাণিতিকভাবে নির্ণয় করো।
ঘ) উদ্দীপকের লক্ষ্যবস্তুটিকে যদি ফোকাস (F) এবং মেরু (P)-এর মাঝে স্থাপন
করা হয়, তবে প্রতিবিম্বের অবস্থান, প্রকৃতি ও আকৃতি কীরূপ হবে? চিত্রসহ বিশ্লেষণ
করো।
সমাধান
ক) উত্তর:
গোলীয় দর্পণের প্রধান অক্ষের সমান্তরাল একগুচ্ছ আলোক রশ্মি দর্পণে আপতিত হয়ে প্রতিফলনের পর প্রধান অক্ষের উপর যে বিন্দুতে মিলিত হয় (অবতল দর্পণে) বা যে বিন্দু থেকে আসছে বলে মনে হয় (উত্তল দর্পণে), সেই বিন্দুকে প্রধান ফোকাস বলে।
খ) উত্তর:
দর্পণের পেছনে রুপার প্রলেপ দেওয়া হয় মূলত আলোর নিয়মিত প্রতিফলন ঘটানোর জন্য। সাধারণ কাঁচের মধ্য দিয়ে আলো প্রতিসরিত হয়ে বেরিয়ে যায়। কিন্তু কাঁচের এক পৃষ্ঠে রুপার মতো উজ্জ্বল ধাতুর প্রলেপ দিলে সেটি দর্পণ হিসেবে কাজ করে এবং আপতিত আলোর অধিকাংশ অংশই প্রতিফলিত করে আমাদের স্পষ্ট প্রতিবিম্ব দেখতে সাহায্য করে।
গ) উত্তর:
আমরা জানি, গোলীয় দর্পণের ফোকাস দূরত্ব ($f$) তার বক্রতার ব্যাসার্ধের ($r$) অর্ধেক।
গাণিতিকভাবে, $$f = \frac{r}{2}$$ দেওয়া আছে, বক্রতার ব্যাসার্ধ, $r = 40\text{
cm}$
অতএব, ফোকাস দূরত্ব, $f = \frac{40\text{ cm}}{2} = 20\text{ cm}$
সুতরাং, দর্পণটির ফোকাস দূরত্ব 20 cm।
ঘ) উত্তর:
উদ্দীপকের লক্ষ্যবস্তুটিকে যদি ফোকাস (F) এবং মেরু (P)-এর মাঝে স্থাপন করা হয়, তবে প্রতিবিম্বের অবস্থান, প্রকৃতি ও আকৃতি কেমন হবে চিত্রসহ নিচে বিশ্লেষণ করা হলো:
অবতল দর্পণের লক্ষ্যবস্তু প্রধান ফোকাসে (F) থাকলে প্রতিবিম্ব গঠন
বর্ণনা:
বস্তুর সর্বোচ্চ বিন্দু O থেকে একটি রশ্মি OQ প্রধান অক্ষের সমান্তরালে দর্পণের Q বিন্দুতে আপতিত হয়ে প্রধান ফোকাস দিয়েই QFR পথে প্রতিফলিত হয়।
O বিন্দু থেকে অপর একটি রশ্মি OM' বক্রতার কেন্দ্র বরাবর M বিন্দুতে আপতিত হয়ে একই পথে প্রতিফলিত হবে। এ প্রতিফলিত রশ্মিদ্বয় পরস্পর সমান্তরাল এবং দর্পণের সামনে অসীমে মিলিত হয় বা দর্পণের পেছন দিকে বাড়ালে অসীম থেকে আসছে বলে মনে হয়।
অতএব বিম্ব অসীম দূরত্বে গঠিত হবে।
| বিম্বের বৈশিষ্ট্য | |
|---|---|
| অবস্থান: | অসীমে। |
| প্রকৃতি: | সদ্ ও উল্টা বা অসদ ও সোজা |
| আকৃতি: | অত্যন্ত বিবর্ধিত |
উপসংহার
গোলীয় দর্পণ পদার্থবিজ্ঞানের একটি গুরুত্বপূর্ণ অধ্যায়, যা আলোর প্রতিফলনের মৌলিক ধারণাকে বাস্তব জীবনের বিভিন্ন ক্ষেত্রে প্রয়োগযোগ্য করে তোলে। এই অধ্যায়ে দর্পণের বিভিন্ন রাশি, যেমন—বক্রতার ব্যাসার্ধ, ফোকাস দূরত্ব এবং বস্তুর অবস্থানের উপর নির্ভর করে কীভাবে বিম্ব গঠিত হয় তা বিশদভাবে ব্যাখ্যা করা হয়েছে। রশ্মিচিত্র অংকনের মাধ্যমে বিম্বের প্রকৃতি ও অবস্থান নির্ণয় সহজ হয় এবং রৈখিক বিবর্ধনের ধারণা বিম্বের আকার সম্পর্কে পরিষ্কার ধারণা প্রদান করে। সৃজনশীল প্রশ্ন ও তার সমাধানের মাধ্যমে শিক্ষার্থীরা বাস্তবভিত্তিক সমস্যা সমাধানে দক্ষতা অর্জন করতে পারে। ফলে, এই অধ্যায়টি শুধু পরীক্ষার জন্য নয়, বরং বাস্তব জীবনের অপটিক্স সম্পর্কিত ধারণা বোঝার ক্ষেত্রেও অত্যন্ত গুরুত্বপূর্ণ।
