ভূমিকা: গতির সমীকরণ \((v=u+at\), \(s=ut+\frac{1}{2}at^2\) সহ), গ্যালিলিওর পড়ন্ত বস্তুর সূত্র (১ম, ২য়, ৩য়) এবং এই সম্পর্কিত গুরুত্বপূর্ণ সৃজনশীল প্রশ্নের উত্তরসহ সম্পূর্ণ সমাধান জানুন। পদার্থবিজ্ঞানের এই গুরুত্বপূর্ণ অংশটি সহজে শিখুন।
গতি বিষয়ক সমীকরণ-
চিত্রঃ গতির সমীকরণv = u + at সমীকরণের প্রমাণ
v = u + at সমীকরণটি গতিবিদ্যার প্রথম সমীকরণ হিসেবে পরিচিত। এটি একটি বস্তু যখন ধ্রুব ত্বরণ সহ সরলরেখায় চলে, তখন তার চূড়ান্ত বেগ (v), প্রাথমিক বেগ (u), ত্বরণ (a), এবং সময় (t)-এর মধ্যে সম্পর্ক স্থাপন করে।
এটি প্রমাণ করার জন্য আমরা ত্বরণের সংজ্ঞা ব্যবহার করব।
ত্বরণের সংজ্ঞা থেকে প্রমাণ
ত্বরণ (a) হলো সময়ের সাথে কোনো বস্তুর বেগের পরিবর্তনের হার।
ত্বরণ = (বেগের পরিবর্তন)/সময়
ধরা যাক,
- বস্তুটির প্রাথমিক বেগ হলো $u$।
- $t$ সময় পরে বস্তুটির চূড়ান্ত বেগ হলো $v$।
- বস্তুটির ধ্রুব ত্বরণ হলো $a$।
এখন, বেগের পরিবর্তন:
বেগের পরিবর্তন = চূড়ান্ত বেগ - প্রাথমিক বেগ = $v - u$
ত্বরণের সংজ্ঞা অনুসারে, আমরা লিখতে পারি:
$a = \frac{v - u}{t}$
এখন, সমীকরণটির উভয় পক্ষকে $t$ দ্বারা গুণ করে পাই:
$at = v - u$
এরপর, সমীকরণটির উভয় পক্ষে $u$ যোগ করে পাই:
$u + at = v$
বা, সাজিয়ে লিখলে:
$v = u + at$
এভাবেই ত্বরণের সংজ্ঞা থেকে গতিবিদ্যার প্রথম সমীকরণটি প্রমাণিত হয়।
লেখচিত্রের সাহায্যে প্রমাণ (সংক্ষেপে)
লেখচিত্রের সাহায্যেও এই সমীকরণটি প্রমাণ করা যায়।
একটি বেগ-সময় লেখচিত্রে যদি একটি সরলরেখা আঁকা হয় যা ধ্রুব ত্বরণ নির্দেশ করে, তবে:
- ত্বরণ ($a$) হলো সরলরেখাটির নতি বা ঢাল।
- নতি নির্ণয়ের সূত্র হলো: a = {উল্লম্ব অক্ষ বরাবর পরিবর্তন (বেগ পরিবর্তন)}/{অনুভূমিক অক্ষ বরাবর পরিবর্তন (সময়)}
যদি লেখচিত্রটি $(0, u)$ বিন্দু থেকে শুরু হয়ে $(t, v)$ বিন্দুতে শেষ হয়, তাহলে:
$a = \frac{v - u}{t - 0}$
$a = \frac{v - u}{t}$
যা পূর্বের গাণিতিক প্রমাণের মতোই:
$at = v - u$
$v = u + at$
সরণের সমীকরণটির প্রমাণ (\(s = ut + \frac{1}{2} at^2\))
এই প্রমাণটি গড় বেগ (Average Velocity) এবং গতিশীল বস্তুর সরণ (Displacement)-এর ধারণার ওপর ভিত্তি করে করা হয়েছে।
ব্যবহৃত সূত্রসমূহ (Formulas Used)
-
গতির প্রথম সূত্র (First Equation of Motion): বস্তুর
চূড়ান্ত বেগ (\(v\))
\(v = u + at\)
এখানে, \(u\) = প্রাথমিক বেগ, \(a\) = ধ্রুবক ত্বরণ, \(t\) = সময়।
-
গড় বেগের সূত্র (Average Velocity Formula):
গড় বেগ (\(\bar{v}\)) = \(\frac{u + v}{2}\)
(যেহেতু ত্বরণ ধ্রুবক, তাই বেগের পরিবর্তনটি সুষম বা সরলরৈখিক হয়, ফলে এই গড় সূত্রটি ব্যবহার করা যায়।)
-
সরণের সূত্র (Displacement Formula):
সরণ (\(s\)) = গড় বেগ (\(\bar{v}\)) × সময় (\(t\))
ধাপ ১: গড় বেগ নির্ণয় (Step 1: Calculating Average Velocity)
গতির প্রথম সূত্র (\(v = u + at\)) ব্যবহার করে আমরা গড় বেগের সূত্রে \(v\) এর মান বসাব:
\(\bar{v} = \frac{u + v}{2}\)
\(\bar{v} = \frac{u + (u + at)}{2}\)
\(\bar{v} = \frac{2u + at}{2}\)
এই রাশিটিকে আলাদা করে লেখা যেতে পারে:
\(\bar{v} = \frac{2u}{2} + \frac{at}{2}\)
\(\bar{v} = u + \frac{1}{2} at\)
ধাপ ২: সরণ নির্ণয় (Step 2: Calculating Displacement)
এখন আমরা সরণের সূত্র ব্যবহার করব এবং ধাপ ১-এ প্রাপ্ত গড় বেগের মান বসাব:
\(s = \bar{v} \times t\)
\(s = (u + \frac{1}{2} at) \times t\)
t দিয়ে বন্ধনীর ভেতরের প্রতিটি পদকে গুণ করে পাই:
\(s = u \cdot t + \frac{1}{2} at \cdot t\)
\(s = ut + \frac{1}{2} at^2\)
(প্রমাণিত) ✅
সাধারণ গাণিতিক নিয়মে এটিই হলো সরণের সমীকরণ (\(s = ut + \frac{1}{2} at^2\)) এর প্রমাণ।
তৃতীয় গতি সমীকরণ: $v^2 = u^2 + 2as$ প্রমাণ
প্রমাণ:
আমরা জানি, গতিশীল বস্তুর গড় বেগ (average velocity) হলো আদি বেগ ($u$) এবং অন্তিম বেগের ($v$) যোগফলের অর্ধেক।
গড় বেগ = \(\frac{u + v}{2}\)
আবার, দূরত্ব($s$) হলো গড় বেগ এবং সময়($t$)-এর গুণফল।
\(s\) = গড় বেগ \(\times t\)
$$s = \left(\frac{u + v}{2}\right) t \quad \cdots (1)$$
আমরা প্রথম গতি সমীকরণথেকে জানি, ত্বরণ ($a$)-এর সংজ্ঞানুসারে:
$$v = u + at$$
একে $t$-এর জন্য সমাধান করলে পাই:
$$v - u = at$$
$$t = \frac{v - u}{a} \quad \cdots (2)$$
এখন, (2) নং সমীকরণে প্রাপ্ত $t$-এর মান (1) নং সমীকরণে বসাই:
$$s = \left(\frac{u + v}{2}\right) \left(\frac{v - u}{a}\right)$$
ডানদিকের রাশিটিকে সাজিয়ে লিখলে পাই:
$$s = \frac{(v + u)(v - u)}{2a}$$
বীজগণিতের সূত্র অনুযায়ী, $(x + y)(x - y) = x^2 - y^2$। এই সূত্র প্রয়োগ করে পাই:
$$s = \frac{v^2 - u^2}{2a}$$
এখন আড়াআড়ি গুণ(cross-multiplication) করলে পাই:
$$2as = v^2 - u^2$$
$u^2$-কে সমীকরণের বাম দিকে নিয়ে গেলে পাই:
$$v^2 = u^2 + 2as$$
এটিই গতির তৃতীয় সমীকরণ। $\square$
ব্যবহৃত প্রতীকগুলির পরিচয়:
- $v$: অন্তিম বেগ (Final velocity)
- $u$: আদি বেগ (Initial velocity)
- $a$: ত্বরণ (Acceleration)
- $s$: সরণ বা দূরত্ব (Displacement or distance)
- $t$: সময় (Time)
মুক্তভাবে পড়ন্ত বস্তুর গতি অভিকর্ষজ ত্বরণ ($g$) দ্বারা প্রভাবিত হয়। বিজ্ঞানী গ্যালিলিও এই গতি সম্পর্কে যে তিনটি সূত্র প্রদান করেছেন, গতির সমীকরণ ব্যবহার করে সেগুলোর গাণিতিক ব্যাখ্যা দেওয়া যায়। এই সূত্রগুলো স্থির অবস্থান ($u=0$) থেকে বিনা বাধায় (বাতাসের অনুপস্থিতিতে) অভিকর্ষজ ত্বরণ ($a=g$) এর প্রভাবে পড়া বস্তুর ক্ষেত্রে প্রযোজ্য।
মুক্তভাবে পড়ন্ত বস্তুর ক্ষেত্রে আমরা ব্যবহার করি:
- আদি বেগ ($u$) = $0$
- ত্বরণ ($a$) = অভিকর্ষজ ত্বরণ ($g$)
গ্যালিলিওর পড়ন্ত বস্তুর সূত্রাবলী: গাণিতিক ব্যাখ্যা
২য় সূত্র: বেগের সাথে সময়ের সম্পর্ক ($v \propto t$)
বাধাহীন পথে পড়ন্ত বস্তুর নির্দিষ্ট সময়ে প্রাপ্ত বেগ ($v$) ঐ সময়ের ($t$) সমানুপাতিক।
গাণিতিক প্রমাণ:
আমরা গতির প্রথম সমীকরণটি ব্যবহার করি:
$$v = u + at$$মুক্তভাবে পড়ন্ত বস্তুর জন্য $u=0$ এবং $a=g$ বসিয়ে পাই:
$$v = 0 + gt$$ $$\mathbf{v = gt}$$যেহেতু অভিকর্ষজ ত্বরণ $g$ একটি ধ্রুবক, তাই এটি প্রমাণ করে যে:
$$\mathbf{v \propto t}$$অর্থাৎ, সময়ের সাথে সাথে বস্তুর বেগ সমানভাবে বৃদ্ধি পায়।
৩য় সূত্র: দূরত্বের সাথে সময়ের সম্পর্ক ($h \propto t^2$)
বাধাহীন পথে পড়ন্ত বস্তু নির্দিষ্ট সময়ে ($t$) যে দূরত্ব ($h$) অতিক্রম করে, তা ঐ সময়ের বর্গের সমানুপাতিক।
গাণিতিক প্রমাণ:
আমরা গতির দ্বিতীয় সমীকরণটি ব্যবহার করি:
$$s = ut + \frac{1}{2}at^2$$মুক্তভাবে পড়ন্ত বস্তুর জন্য $s=h$, $u=0$ এবং $a=g$ বসিয়ে পাই:
$$h = 0 \cdot t + \frac{1}{2}gt^2$$ $$\mathbf{h = \frac{1}{2}gt^2}$$যেহেতু $\frac{1}{2}$ এবং $g$ উভয়ই ধ্রুবক, তাই এটি প্রমাণ করে যে:
$$\mathbf{h \propto t^2}$$অর্থাৎ, যদি সময় দ্বিগুণ হয়, তবে দূরত্ব $2^2 = 4$ গুণ হবে।
১ম সূত্র: বেগের সাথে দূরত্বের সম্পর্ক ($v^2 \propto h$)
প্রথম সূত্রের মূল বক্তব্য হলো: স্থির অবস্থান এবং একই উচ্চতা থেকে বিনা বাধায় পড়ন্ত সকল বস্তু সমান সময়ে সমান দূরত্ব অতিক্রম করে (বা সকল বস্তু একই ত্বরণে নামে)। এই ত্বরণ যে অভিকর্ষজ ত্বরণ ($g$) এবং এটি বস্তুর ভর বা আকৃতির ওপর নির্ভরশীল নয়, তা গতির সমীকরণ থেকে বোঝা যায়।
গাণিতিক ব্যাখ্যা (বেগের সাথে দূরত্বের সম্পর্ক):
আমরা গতির তৃতীয় সমীকরণটি ব্যবহার করি:
$$v^2 = u^2 + 2as$$মুক্তভাবে পড়ন্ত বস্তুর জন্য $u=0$, $a=g$, এবং $s=h$ বসিয়ে পাই:
$$v^2 = 0^2 + 2gh$$ $$\mathbf{v^2 = 2gh}$$যেহেতু $2$ এবং $g$ উভয়ই ধ্রুবক, তাই:
$$\mathbf{v^2 \propto h} \quad \text{বা} \quad \mathbf{h \propto v^2}$$এই সমীকরণটি দেখায় যে কোনো নির্দিষ্ট দূরত্ব ($h$) অতিক্রম করার পর বস্তুর বেগ ($v$) শুধুমাত্র $g$ এবং $h$ এর ওপর নির্ভর করে, বস্তুর ভর বা আকারের ওপর নির্ভর করে না।
গতি সমীকরণের ব্যবহার
এই সমীকরণগুলো ব্যবহার করে আমরা বিভিন্ন বাস্তব সমস্যার সমাধান করতে পারি, যেমন:
- বস্তু কত দূরত্ব অতিক্রম করেছে তা নির্ণয়
- বস্তু কত সময় চলেছে তা নির্ধারণ
- বস্তু কোথায় থামবে বা সর্বোচ্চ উচ্চতায় পৌঁছাবে তা হিসাব করা
সৃজনশীল প্রশ্ন ৫
একটি আম ১২০ মিটার উচ্চতায় একটি গাছের ডালে ঝুলে ছিল। ঠিক সেই মুহূর্তে, একজন ছাত্র সেই আম লক্ষ্য করে সোজা উপরের দিকে ৫০ m/s বেগে একটি ঢিল ছুঁড়ে দেয়। কিন্তু ঢিল ছোঁড়ার মুহূর্তেই আমটি বোটা থেকে ছুটে নিচের দিকে পড়তে শুরু করে।
ক. অভিকর্ষজ ত্বরণ বলতে কী বোঝায়?
অভিকর্ষজ ত্বরণ হলো সেই ত্বরণ যা পৃথিবীর অভিকর্ষ বলের কারণে কোনো বস্তু নিচের দিকে পড়ে। পৃথিবীর পৃষ্ঠে এর গড় মান প্রায় \( g = 9.8 \, \text{m/s}^2 \)। এটি সব বস্তুর জন্য সমান, যদি বায়ুর প্রতিরোধ উপেক্ষা করা হয়।
খ. আমটির পতন কি "পড়ন্ত বস্তুর তৃতীয় সূত্র" অনুসারে ঘটে? ব্যাখ্যা করো।
হ্যাঁ, আমটির পতন তৃতীয় সূত্র অনুসারে ঘটে:
\[ s = ut + \frac{1}{2}at^2 \]
যেহেতু আমটি বোটা থেকে খসে পড়ছে, তার প্রাথমিক বেগ \( u = 0 \)। তাই:
\[ s = \frac{1}{2}gt^2 \]
এটি প্রমাণ করে যে আমটির গতি অভিকর্ষজ ত্বরণের নিয়ম অনুসরণ করে।
গ. কখন আম ও ঢিল ভূমি থেকে সমদূরবর্তী অবস্থানে থাকবে? নির্ণয় করো।
আমের অবস্থান: \( s_1 = \frac{1}{2}gt^2 \)
ঢিলের অবস্থান: \( s_2 = 50t - \frac{1}{2}gt^2 \)
আম ও ঢিল সমদূরবর্তী হলে: \( s_1 = 120 - s_2 \)
সমীকরণ বসিয়ে পাই:
\[ \frac{1}{2}gt^2 = 120 - \left(50t - \frac{1}{2}gt^2\right) \]
\[ gt^2 + 50t - 120 = 0 \]
এটি একটি দ্বিঘাত সমীকরণ, যা সমাধান করে সময় নির্ণয় করা যাবে।
দ্বিঘাত সমীকরণটির সমাধান:
প্রদত্ত সমীকরণ:
\[ gt^2 + 50t - 120 = 0 \]
যেখানে \( g = 9.8 \)
তাই:
\[ 9.8t^2 + 50t - 120 = 0 \]
এটি একটি সাধারণ দ্বিঘাত রূপ:
\[ at^2 + bt + c = 0 \]
এখানে \( a = 9.8 \), \( b = 50 \), \( c = -120 \)
দ্বিঘাত সূত্র প্রয়োগ করি:
\[ t = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]
মান বসিয়ে পাই:
\( t = \frac{-50 \pm \sqrt{50^2 - 4 \cdot 9.8 \cdot (-120)}}{2 \cdot 9.8} \)
\( t = \frac{-50 \pm \sqrt{2500 + 4704}}{19.6} = \frac{-50 \pm \sqrt{7204}}{19.6} \)
\[ \sqrt{7204} \approx 84.84 \]
তাই দুইটি সমাধান:
\( t_1 = \frac{-50 + 84.84}{19.6} \approx 1.78 \, \text{seconds} \)
\( t_2 = \frac{-50 - 84.84}{19.6} \approx -6.88 \, \text{seconds} \)
যেহেতু সময় ঋণাত্মক হতে পারে না, তাই গ্রহণযোগ্য সমাধান:
\[ \boxed{t \approx 1.78 \, \text{seconds}} \]
ঘ. আমটি মাটিতে পড়ার কত সময় পরে ঢিলটি মাটিতে পড়বে? তা নির্ণয় করো।
আমের পতনের সময়:
\( s = \frac{1}{2}gt^2 \Rightarrow 120 = \frac{1}{2} \cdot 9.8 \cdot t^2 \Rightarrow t^2\) \(= \frac{240}{9.8} \approx 24.49 \Rightarrow t \approx 4.95 \, \text{seconds} \)
ঢিলের উর্ধ্বগমন সময়:
\( v = u - gt \Rightarrow 0 = 50 - 9.8t \Rightarrow t \) \(= \frac{50}{9.8} \approx 5.10 \, \text{seconds} \)
সর্বোচ্চ উচ্চতা থেকে পতনের সময়:
\( h = \frac{u^2}{2g} = \frac{50^2}{2 \cdot 9.8} \approx 127.55 \, \text{m} \)
\( t = \sqrt{\frac{2h}{g}} = \sqrt{\frac{2 \cdot 127.55}{9.8}} \approx 5.10 \, \text{seconds} \)
ঢিলের মোট সময়: \( 5.10 + 5.10 = 10.20 \, \text{seconds} \)
আমের পরে ঢিল পড়বে: \( 10.20 - 4.95 = 5.25 \, \text{seconds} \)
উপসংহার: এই আলোচনায় আমরা গতির সমীকরণ, গ্যালিলিওর পড়ন্ত বস্তুর সূত্র এবং সৃজনশীল প্রশ্নের সমাধান বিশ্লেষণ করেছি। এগুলো শিক্ষার্থীদের পরীক্ষায় ও বাস্তব জীবনে পদার্থবিজ্ঞানের প্রয়োগ বুঝতে সহায়ক হবে।
মন্তব্যসমূহ
একটি মন্তব্য পোস্ট করুন