তড়িৎ দ্বি-মেরু (Electric Dipole), তড়িৎ দ্বি-মেরু ভ্রামক এবং এর বৈদুতিক প্রাবল্য নির্ণয়ের সহজ কৌশল শিখুন। তড়িৎ দ্বিমেরুর ক্ষেত্র প্রাবল্য ও পরাবৈদ্যুতিক ধ্রুবক-এর সম্পূর্ণ ধারণা পান। সৃজনশীল প্রশ্নের উত্তর কীভাবে করতে হয়, বিস্তারিত জানুন।
তড়িৎ দ্বি-মেরু (Electric Dipole)
এক জোড়া সমান এবং বিপরীত আধান অল্প দূরত্বে অবস্থিত থাকলে তাকে তড়িৎ দ্বি-মেরু বলে।
পানি \(\text{H}_2\text{O}\), ক্লোরোফর্ম \(\text{CHCl}_3\) এবং অ্যামোনিয়া \(\text{NH}_3\) অণু হচ্ছে স্থায়ী তড়িৎ দ্বি-মেরুর কয়েকটি উদাহরণ। এসব অণুতে ধনাত্মক ও ঋণাত্মক আধান বণ্টনের কেন্দ্র কখনো সমপাতিত হয় না।
চিত্রে একটি তড়িৎ দ্বি-মেরু দেখানো হয়েছে। এতে দুটি সমান ও বিপরীত বিন্দু আধান '-q' এবং '+q' এর মধ্যবর্তী দূরত্ব \(2\text{l}\)।
কোনো তড়িৎ দ্বি-মেরুর ধনাত্মক ও ঋণাত্মক আধানের মধ্য দিয়ে অতিক্রমকারী সরলরেখাকে ঐ তড়িৎ দ্বি-মেরুর অক্ষ বলে।
তড়িৎ দ্বি-মেরু ভ্রামক (Electric Dipole Moment)
একটি তড়িৎ দ্বি-মেরুর সফলতা পরিমাপ করা হয় তার তড়িৎ দ্বি-মেরু ভ্রামক (\(\text{electric dipole moment}\)) দ্বারা।
- তড়িৎ দ্বি-মেরু ভ্রামক একটি ভেক্টর রাশি এবং একে \(\vec{\text{p}}\) দ্বারা প্রকাশ করা হয়।
- এর মান পরিমাপ করা হয় যে কোনো একটি আধান এবং তাদের মধ্যবর্তী দূরত্বের গুণফল দ্বারা।
- সুতরাং, তড়িৎ দ্বি-মেরুর যেকোনো একটি আধান এবং এদের মধ্যবর্তী দূরত্বের গুণফলকে তড়িৎ দ্বি-মেরু ভ্রামক বলে।
তড়িৎ দ্বি-মেরু ভ্রামকের মান:
\[ \text{p} = \text{q} \times 2\text{l} \]\(\vec{\text{p}}\) এর দিক হয় তড়িৎ দ্বি-মেরুর অক্ষ বরাবর ঋণাত্মক আধান থেকে ধনাত্মক আধানের দিকে।
এর একক হচ্ছে কুলম্ব মিটার (\(\text{Cm}\))।
তড়িৎ দ্বিমেরুর অক্ষীয় রেখায় তড়িৎ ক্ষেত্র প্রাবল্য
প্রদত্ত চিত্রে একটি তড়িৎ দ্বিমেরু দেখানো হয়েছে, যা -q এবং +q আধান নিয়ে গঠিত এবং এদের মধ্যবর্তী দূরত্ব 2l। দ্বিমেরুর কেন্দ্র হল O। দ্বিমেরুর অক্ষের উপর অবস্থিত একটি বিন্দু P, যা কেন্দ্র O থেকে r দূরত্বে আছে। আমরা P বিন্দুতে তড়িৎ ক্ষেত্র প্রাবল্য (E) নির্ণয় করব।
১. -q আধানের জন্য P বিন্দুতে প্রাবল্য (\(\vec{E}_1\))
-q আধান (বিন্দু A তে অবস্থিত) থেকে P বিন্দুর দূরত্ব হলো (r+l)। এই প্রাবল্য ঋণাত্মক আধানের দিকে ক্রিয়া করে (অর্থাৎ PC বরাবর আকর্ষণ বল)।
$$ E_1 = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0 K} \cdot \frac{q}{(r+l)^2} $$
দিক: PC বরাবর (অর্থাৎ বাম দিকে)।
২. +q আধানের জন্য P বিন্দুতে প্রাবল্য (\(\vec{E}_2\))
+q আধান (বিন্দু B তে অবস্থিত) থেকে P বিন্দুর দূরত্ব হলো (r-l)। এই প্রাবল্য ধনাত্মক আধান থেকে বাইরের দিকে ক্রিয়া করে (অর্থাৎ PD বরাবর বিকর্ষণ বল)।
$$ E_2 = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0 K} \cdot \frac{q}{(r-l)^2} $$
দিক: PD বরাবর (অর্থাৎ ডান দিকে)।
৩. P বিন্দুতে লব্ধি তড়িৎ ক্ষেত্র প্রাবল্য (\(\vec{E}\))
\(E_2\) এবং \(E_1\) একই সরলরেখায় কিন্তু বিপরীত দিকে ক্রিয়া করছে। যেহেতু \((r-l) \lt (r+l)\), তাই \(\mathbf{E_2 > E_1}\) হবে। সুতরাং, লব্ধি প্রাবল্য হবে:
$$ E = E_2 - E_1 $$
মান বসিয়ে পাই:
$$ E = \frac{q}{4 \pi \epsilon_0 K} \left[ \frac{1}{(r-l)^2} - \frac{1}{(r+l)^2} \right]$$
লসাগু করে পাই:
$$ E = \frac{q}{4 \pi \epsilon_0 K} \left[ \frac{(r+l)^2 - (r-l)^2}{(r-l)^2 (r+l)^2} \right] $$
বীজগণিতের সূত্র প্রয়োগে \(((a+b)^2 - (a-b)^2 = 4ab)\) লব হয় \(4rl\):
$$ E = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0 K} \cdot \frac{q \cdot 2l \cdot 2r}{(r^2 - l^2)^2} $$
এই রাশিকে \(\mathbf{p = q(2l)}\) (তড়িৎ দ্বিমেরু ভ্রামক) এর সাহায্যে প্রকাশ করে পাই:
$$ E = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0 K} \cdot \frac{2pr}{(r^2 - l^2)^2} $$
দিক: PD বরাবর (অর্থাৎ ধনাত্মক আধান থেকে ঋণাত্মক আধানের দিকে বা দ্বিমেরু ভ্রামকের দিকে)।
৪. বিশেষ ক্ষেত্র: যখন P বিন্দু দ্বিমেরু থেকে অনেক দূরে থাকে (\(r \gg l\))
যদি P বিন্দুটি দ্বিমেরু থেকে অনেক দূরে হয়, অর্থাৎ \(r \gg l\) হয়, তবে হরে \(l^2\) কে \(r^2\) এর তুলনায় নগণ্য ধরা যায় (\(r^2 - l^2 \approx r^2\))।
$$ E = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0 K} \cdot \frac{2pr}{(r^2)^2} $$
$$ E = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0 K} \cdot \frac{2p}{r^3} $$
৫. শূন্য মাধ্যম বা বায়ুর ক্ষেত্রে (\(K=1\))
শূন্য মাধ্যম বা বায়ুর জন্য পরাবৈদ্যুতিক ধ্রুবক \(\mathbf{K=1}\) হয়।
$$ E = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \cdot \frac{2p}{r^3} $$
যে বিন্দুতে প্রাবল্য নির্ণয় করতে হবে, সে বিন্দুটি যদি স্বল্প ধনাত্মক আধান দ্বারা কল্পিত হয়, তাহলেই ওই প্রাবল্যের দিক হবে ঋণাত্মক আধান থেকে ধনাত্মক আধানের দিকে।
তড়িৎ দ্বিমেরুর জন্য বিভবের রাশিমালা
একটি দ্বিমেরুর জন্য অক্ষের ওপর কোনো বিন্দুতে তড়িৎ বিভবের রাশিমালা
কোনো তড়িৎ দ্বিমেরুর ঋণাত্মক ও ধনাত্মক আধানের মধ্যে অতিক্রমণকারী সরলরেখাকে ঐ তড়িৎ দ্বিমেরুর অক্ষ বলে।
মনে করা যাক, \(2l\) দূরত্বে অবস্থিত \(-q\) ও \(+q\) দুটি বিন্দু আধান সমন্বয়ে একটি তড়িৎ দ্বিমেরু গঠিত (চিত্র দেখুন) বলা যায়। \(-q\) ও \(+q\) আধান দুটির মধ্যবিন্দুগামী রেখার মধ্যবিন্দু \(O\) থেকে তার অক্ষের ওপর \(r\) দূরত্বে অবস্থিত \(P\) বিন্দুতে তড়িৎ বিভব নির্ণয় করতে হবে।
এখন \(A\) বিন্দুর \(-q\) আধানের জন্য \(P\) বিন্দুতে বিভব,
\[ V_{A} = \frac{1}{4\pi\epsilon_{0}K} \cdot \frac{-q}{(r+l)} \]আবার, \(B\) বিন্দুর \(+q\) আধানের জন্য \(P\) বিন্দুতে বিভব,
\[ V_{B} = \frac{1}{4\pi\epsilon_{0}K} \cdot \frac{+q}{(r-l)} \]এখন \(P\) বিন্দুতে বিভব \(V\) হলে,
\[ V = V_{A} + V_{B} = \frac{q}{4\pi\epsilon_{0}K} \left( \frac{1}{r-l} - \frac{1}{r+l} \right) \] \[ V = \frac{q}{4\pi\epsilon_{0}K} \left( \frac{r+l - (r-l)}{(r-l)(r+l)} \right) \] \[ V = \frac{q}{4\pi\epsilon_{0}K} \left( \frac{2l}{r^{2} - l^{2}} \right) \]যেহেতু \(q \times 2l = p\) (যেখানে \(p\) হলো দ্বিমেরু ভ্রামক)
\[ V = \frac{1}{4\pi\epsilon_{0}K} \cdot \frac{p}{r^{2} - l^{2}} \]বিশেষ ক্ষেত্র:
যদি \(P\) বিন্দুটি দ্বিমেরু থেকে অনেক দূরে হয় (অর্থাৎ \(r>>l\)), তাহলে \(r^{2}\) এর তুলনায় \(l^{2}\) কে উপেক্ষা করা যায়। সে ক্ষেত্রে
\[ V = \frac{1}{4\pi\epsilon_{0}K} \cdot \frac{p}{r^{2}} \]শূন্যস্থান (বা বায়ু) হলে \(K=1\), সুতরাৎ
\[ V = \frac{1}{4\pi\epsilon_{0}} \cdot \frac{p}{r^{2}} \]বৈদুতিক দ্বিমেরু (Electric Dipole)
বৈদুতিক দ্বিমেরুর লম্ব সমদ্বিখন্ডকের (Equatorial Line) উপর অবস্থিত কোনো বিন্দুতে প্রাবল্য (Electric Field Intensity) ও বিভব (Potential) নির্ণয়।
১. বৈদুতিক প্রাবল্য (Electric Field Intensity)
ধরা যাক, A বিন্দুতে \(+q\) এবং B বিন্দুতে \(-q\) দুটি বিন্দু আধান পরস্পর থেকে \(2l\) দূরত্বে থেকে একটি দ্বিমেরু গঠন করেছে। দ্বিমেরুর লম্ব সমদ্বিখণ্ডকের উপর P একটি বিন্দু। দ্বিমেরুর মধ্যবিন্দু O থেকে P বিন্দুটি \(r\) দূরত্বে অবস্থিত।
A. A বিন্দুতে \(+q\) আধানের জন্য P বিন্দুতে প্রাবল্য, \(E_A\)
\[E_A = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} K \frac{q}{(r^2 + l^2)}\](এটি বিকর্ষণ বল এবং দিক হবে PS বরাবর।)
B. B বিন্দুতে \(-q\) আধানের জন্য P বিন্দুতে প্রাবল্য, \(E_B\)
\[E_B = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{q}{(r^2 + l^2)}\](এটি আকর্ষণ বল এবং দিক হবে PT বরাবর।)
স্পষ্টতই, \(E_A = E_B\). এখন, ভেক্টর যোগের সামান্তরিক সূত্রানুসারে P বিন্দুতে লব্ধ প্রাবল্য, \(E\) হবে:
\[E = 2 E_A \cos \theta\]যেখানে \(\theta\) হলো \(\angle PBA\) বা \(\angle PAB\). চিত্র থেকে \(\cos\theta\) -এর মান বসিয়ে পাই:
\[E = 2 \times \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{q}{(r^2 + l^2)} \times \frac{l}{(r^2 + l^2)^{1/2}}\]দ্বিমেরু ভ্রামক \(p = q \times 2l\) ব্যবহার করে:
\[E = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{p}{(r^2 + l^2)^{3/2}}\]যদি দ্বিমেরুটি খুব ক্ষুদ্র হয় (\(r \gg l\)), তবে \(l^2\)-কে উপেক্ষা করে পাই:
\[E \approx \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{p}{r^3}\]২. বৈদুতিক বিভব (Electric Potential)
P বিন্দুতে মোট বিভব \(V\) হলো \(V_A\) (জন্য \(+q\) আধানের জন্য) এবং \(V_B\) (জন্য \(-q\) আধানের জন্য) এর যোগফল।
\[V = V_A + V_B = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{q}{AP} + \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{(-q)}{BP}\] \[V = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} q \left[\frac{1}{AP} - \frac{1}{BP}\right]\]লম্ব সমদ্বিখণ্ডকের উপর P বিন্দু অবস্থিত হওয়ায়, দূরত্ব \(AP\) এবং \(BP\) সমান। অর্থাৎ \(AP = BP\)।
\[V = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} q \left[\frac{1}{AP} - \frac{1}{AP}\right] = 0\]বলা যায় যে, দ্বিমেরুর লম্ব সমদ্বিখণ্ডকের উপর যে কোনো বিন্দুতে বৈদুতিক বিভব শূন্য (Electric Potential is zero) হয়।
📝 তড়িৎ দ্বিমেরু: সৃজনশীল প্রশ্ন ও সমাধান
উদ্দীপক (Stem)
চিত্রে \(A\) ও \(B\) বিন্দুতে যথাক্রমে \(-5 \text{ nC}\) এবং \(+5 \text{ nC}\) দুটি বিন্দু আধান \(10 \text{ cm}\) দূরত্বে রাখা আছে। এই আধান দুটির মধ্যবিন্দু হলো \(O\)। \(O\) বিন্দু থেকে \(AB\) রেখার অক্ষ বরাবর \(20 \text{ cm}\) দূরে \(P\) একটি বিন্দু।
\[ \text{Fig: } \quad \quad \underset{\text{A}}{\bullet} \longleftarrow 10 \text{ cm} \longrightarrow \underset{\text{B}}{\bullet} \quad \quad \text{এবং } \quad \underset{\text{O}}{\bullet} \longleftarrow 20 \text{ cm} \longrightarrow \underset{\text{P}}{\bullet} \]
প্রশ্নসমূহ (Questions)
- (ক) জ্ঞানমূলক: তড়িৎ দ্বিমেরু ভ্রামক কাকে বলে?
- (খ) অনুধাবনমূলক:\(+5 \text{ nC}\) আধান থেকে \(10 \text{ cm}\) দূরত্বে অবস্থিত কোনো বিন্দুতে তড়িৎ বিভব নির্ণয়ের রাশিমালা ব্যাখ্যা করুন।
- (গ) প্রয়োগমূলক: \(P\) বিন্দুতে তড়িৎ বিভবের মান নির্ণয় করুন।
- (ঘ) উচ্চতর দক্ষতামূলক: যদি \(P\) বিন্দুটি অক্ষের ওপর না হয়ে, \(O\) বিন্দু থেকে \(20 \text{ cm}\) দূরে \(AB\) রেখার লম্ব সমদ্বিখণ্ডকের ওপর অবস্থিত হতো, তবে সেই বিন্দুতে তড়িৎ বিভবের মান কীরূপ পরিবর্তন হতো—গাণিতিকভাবে বিশ্লেষণ করুন।
💡 সমাধান (Solution)
(ক) তড়িৎ দ্বিমেরু ভ্রামক কাকে বলে? (Knowledge)
দুটি সমান এবং বিপরীত ধর্মী বিন্দু আধান অত্যন্ত স্বল্প দূরত্বে থেকে যে দ্বিমেরু সৃষ্টি করে, তার যেকোনো একটি আধানের মান (\(q\)) এবং আধান দুটির মধ্যবর্তী দূরত্বের (\(2l\)) গুণফলকে তড়িৎ দ্বিমেরু ভ্রামক (\(\mathbf{p}\)) বলে।
\[ \mathbf{p} = q \times 2\mathbf{l} \]
এটি একটি ভেক্টর রাশি, যার দিক ঋণাত্মক আধান থেকে ধনাত্মক আধানের দিকে।
(খ) +5 nC আধান থেকে 10 cm দূরত্বে অবস্থিত কোনো বিন্দুতে তড়িৎ বিভব নির্ণয়ের রাশিমালা ব্যাখ্যা করুন। (Comprehension)
একটি বিচ্ছিন্ন বিন্দু আধান (\(q\)) থেকে \(r\) দূরত্বে অবস্থিত কোনো বিন্দুতে তড়িৎ বিভব (\(V\)) নির্ণয়ের রাশিমালাটি হলো:
\[ V = \frac{1}{4\pi\epsilon_{0}K} \cdot \frac{q}{r} \]
এই রাশিমালার দ্বারা বোঝা যায় যে, তড়িৎ বিভব আধানের মানের সঙ্গে সমানুপাতিক (\(V \propto q\)) এবং আধান থেকে দূরত্বের সঙ্গে ব্যস্তানুপাতিক (\(V \propto 1/r\))। যেহেতু বিভব একটি স্কেলার রাশি, তাই এটি নির্ণয়ের সময় আধানের চিহ্ন ব্যবহার করা হয়।
(গ) P বিন্দুতে তড়িৎ বিভবের মান নির্ণয় করুন। (Application)
প্রদত্ত মানসমূহ:
- \(q = 5 \times 10^{-9} \text{ C}\)
- \(2l = 0.1 \text{ m} \implies l = 0.05 \text{ m}\)
- \(r = 0.2 \text{ m}\)
- \(\frac{1}{4\pi\epsilon_{0}} \approx 9 \times 10^{9} \text{ N} \cdot \text{m}^2/\text{C}^2\)
১. দ্বিমেরু ভ্রামক (\(p\)) নির্ণয়:
\[ p = q \times 2l = (5 \times 10^{-9} \text{ C}) \times (0.1 \text{ m}) = 5 \times 10^{-10} \text{ C} \cdot \text{m} \]
২. P বিন্দুতে বিভব (\(V\)) নির্ণয় (অক্ষের ওপর):
\[ V = \frac{1}{4\pi\epsilon_{0}} \cdot \frac{p}{r^{2} - l^{2}} \] \[ V = (9 \times 10^{9}) \cdot \frac{5 \times 10^{-10}}{(0.2)^{2} - (0.05)^{2}} \] \[ V = \frac{4.5}{0.04 - 0.0025} = \frac{4.5}{0.0375} \text{ V} \] \[ V = 120 \text{ V} \]
উত্তর: \(P\) বিন্দুতে তড়িৎ বিভবের মান হলো \(120 \text{ V}\)।
(ঘ) লম্ব সমদ্বিখণ্ডকের ওপর তড়িৎ বিভবের পরিবর্তন বিশ্লেষণ করুন। (Higher-Order Thinking)
যদি \(P\) বিন্দুটি লম্ব সমদ্বিখণ্ডকের ওপর অবস্থিত হতো (ধরা যাক \(P'\) বিন্দু), তবে সেই বিন্দুতে তড়িৎ বিভবের মান হবে শূন্য (\(0 \text{ V}\))।
গাণিতিক বিশ্লেষণ:
লম্ব সমদ্বিখণ্ডকের ওপর অবস্থিত যেকোনো বিন্দু \(P'\) থেকে ধনাত্মক (\(+q\)) এবং ঋণাত্মক (\(-q\)) আধান দুটির দূরত্ব \(r_{+}\) ও \(r_{-}\) সমান।
\[ r_{+} = r_{-} = \sqrt{r^{2} + l^{2}} \]
P' বিন্দুতে মোট বিভব (\(V'\)):
\[ V' = V_{(+q)} + V_{(-q)} = \frac{1}{4\pi\epsilon_{0}K} \left( \frac{+q}{r_{+}} + \frac{-q}{r_{-}} \right) \] \[ V' = \frac{q}{4\pi\epsilon_{0}K} \left( \frac{1}{r_{+}} - \frac{1}{r_{-}} \right) = 0 \text{ V} \quad (\text{therefore } r_{+} = r_{-}) \]
অতএব, অক্ষের ওপর বিভব \(120 \text{ V}\) ছিল, কিন্তু লম্ব সমদ্বিখণ্ডকের ওপর বিভব \(\mathbf{0 \text{ V}}\)। অর্থাৎ, \(P\) বিন্দুটি স্থানান্তরিত হলে তড়িৎ বিভবের মান \(120 \text{ V}\) থেকে কমে \(0 \text{ V}\) হয়ে যেত। তড়িৎ দ্বিমেরুর লম্ব সমদ্বিখণ্ডক হলো একটি সমবিভব তল।
এই বিষয়ে আরও জানতে ভিজিট করুন: Electric Dipole (Wikipedia)
তড়িৎ দ্বি-মেরু, ভ্রামক, ক্ষেত্র প্রাবল্য ও পরাবৈদ্যুতিক ধ্রুবক সম্পর্কিত আলোচনা আপনাকে যেকোনো সৃজনশীল প্রশ্ন আত্মবিশ্বাসের সাথে মোকাবিলা করতে সাহায্য করবে। ধারণাগুলো ভালোভাবে বুঝে নিন এবং অনুশীলনের মাধ্যমে নিজেকে প্রস্তুত করুন।
