প্যাসকেলের সূত্র: প্রমাণ, বল বৃদ্ধিকরণ নীতি, ব্যবহার ও সৃজনশীল প্রশ্ন সমাধান (SSC Physics)

প্যাসকেলের সূত্র কী? এর পরীক্ষামূলক প্রমাণ, বল বৃদ্ধিকরণ নীতি, হাইড্রোলিক সিস্টেমে এর ব্যবহার এবং গুরুত্বপূর্ণ সৃজনশীল প্রশ্নের উত্তর ও সমাধান নিয়ে বিস্তারিত জানুন। পদার্থবিজ্ঞান (SSC) অধ্যায়-৫ এর জন্য সহায়ক।

ফরাসি বিজ্ঞানী ব্লেইস প্যাসকেল (Blaise Pascal) ১৬৫৩ সালে তরল যান্ত্রিকতার এক গুরুত্বপূর্ণ নীতি প্রণয়ন করেন, যা প্যাসকেলের সূত্র (Pascal's Law) নামে পরিচিত। এই নীতি স্থিতি-তরলের (Fluid at rest) আচরণের এক মৌলিক ব্যাখ্যা প্রদান করে এবং আধুনিক হাইড্রোলিক প্রযুক্তির ভিত্তি স্থাপন করে।

প্যাসকেলের সূত্রের মূলনীতি

প্যাসকেলের সূত্র অনুসারে:

"একটি আবদ্ধ ও স্থিত তরল বা বায়বীয় পদার্থের কোনো অংশের ওপর বাইরে থেকে চাপ প্রয়োগ করলে, সেই চাপ তরলের সকল অংশে সমভাবে ও অপরিবর্তিতভাবে সঞ্চালিত হয় এবং পাত্রের সংলগ্ন গায়ে লম্বভাবে ক্রিয়া করে।"

সহজ ভাষায়, একটি আবদ্ধ পাত্রের মধ্যে যদি জল বা তেল জাতীয় কোনো তরল থাকে, তবে এর এক জায়গায় সামান্য চাপ দিলেও সেই চাপ বিন্দুমাত্র না কমে তরলের মধ্য দিয়ে পাত্রের প্রতিটি বিন্দুতে সমানভাবে ছড়িয়ে পড়বে।

প্যাসকেলের সূত্রের পরীক্ষামূলক প্রমাণ

চিত্রঃ প্যাসকেলের সূত্রের পরীক্ষামূলক প্রমাণ

গোলাকার একটি পানিপূর্ণ আবদ্ধ পাত্র নেওয়া হল। এ পাত্রে A, B, C, D চারটি মুখ আছে (চিত্র দেখুন)। এই মুখগুলো নিচ্ছিদ্র পিস্টন দ্বারা আটকানো আছে।

---

ধরা যাক, A পিস্টনের প্রস্থচ্ছেদ ১ একক এবং B, C ও D এর প্রস্থচ্ছেদ যথাক্রমে ২, ৩ এবং ৪ একক করে। এখন A পিস্টনের উপর যদি F বল প্রয়োগ করে ভিতরের দিকে ঠেলা হয় তাহলে B, C ও D পিস্টনগুলো বাইরের দিকে সরে যাবে। এ থেকে প্রমাণিত হয় যে A পিস্টনের উপর প্রযুক্ত চাপ সবদিকে সঞ্চালিত হয়েছে।

এখন B, C ও D পিস্টনগুলোকে যদি আমরা তাদের স্বস্থানে ধরে রাখতে চাই তাহলে পিস্টনগুলোর উপর যথাক্রমে 2F, 3F ও 4F বল প্রয়োগ করতে হবে। এ থেকে প্রমাণিত হয় যে পিস্টনগুলোর উপর যে চাপ অর্থাৎ, প্রতি একক ক্ষেত্রফলে যে বল সঞ্চালিত হয়েছে তা A পিস্টনের উপর প্রযুক্ত বলের সমান কারণ A এর ক্ষেত্রফল একক ধরা হয়েছে।

আবার পিস্টনগুলোর সরে যাওয়ার অভিমুখ লক্ষ করলে দেখা যাবে যে সঞ্চালিত চাপ পিস্টনগুলোর উপর লম্বভাবে ক্রিয়া করে। পানির পরিবর্তে বায়বীয় পদার্থ নিয়ে পরীক্ষা করলেও একই ফল পাওয়া যাবে।

---

প্যাসকেলের সূত্র

সুতরাং বলা যায়: পাত্রে আবদ্ধ কোনো তরল বা বায়বীয় পদার্থে চাপ প্রয়োগ করলে সেই চাপ কিছু মাত্র না কমে সকল দিকে সঞ্চালিত হয় এবং পাত্রের গায়ে লম্বভাবে ক্রিয়া করে।

সূত্রটির গাণিতিক ব্যাখ্যা (বল বৃদ্ধিকরণ নীতি)

প্যাসকেলের সূত্রের সবচেয়ে গুরুত্বপূর্ণ প্রয়োগ হলো বল বৃদ্ধিকরণ নীতি (Principle of Multiplication of Force)। এই নীতি একটি হাইড্রোলিক যন্ত্রের মাধ্যমে ব্যাখ্যা করা যায়, যেখানে ভিন্ন ক্ষেত্রফল বিশিষ্ট দুটি পিস্টন একটি আবদ্ধ তরল দ্বারা সংযুক্ত থাকে (যেমন হাইড্রোলিক প্রেস)।

ধরা যাক, দুটি পিস্টনের ক্ষেত্রফল যথাক্রমে \(A_1\) (ক্ষুদ্রতর) এবং \(A_2\) (বৃহত্তর), যেখানে \(A_2 > A_1\)।

ক্ষুদ্রতর পিস্টন \(A_1\)-এর উপর \(F_1\) বল প্রয়োগ করা হলে, সৃষ্ট চাপ হবে:

$$P = \frac{F_1}{A_1}$$

প্যাসকেলের সূত্র অনুযায়ী, এই চাপ তরলের মাধ্যমে অপরিবর্তিতভাবে বৃহত্তর পিস্টন \(A_2\)-তে সঞ্চালিত হবে। সুতরাং, বৃহত্তর পিস্টন \(A_2\)-তে একই চাপ \(P\) ক্রিয়া করবে।

অতএব, বৃহত্তর পিস্টন \(A_2\)-এর উপর প্রযুক্ত বল \(F_2\) হবে:

$$F_2 = P \times A_2$$

প্রথম সমীকরণে \(P\)-এর মান বসিয়ে পাই:

$$F_2 = \frac{F_1}{A_1} \times A_2$$ $$\Rightarrow \frac{F_2}{F_1} = \frac{A_2}{A_1}$$

যেহেতু \(A_2 > A_1\), তাই \(\frac{A_2}{A_1} > 1\) হবে। এর ফলস্বরূপ, \(F_2\) হবে \(F_1\)-এর চেয়ে অনেক গুণ বেশি। অর্থাৎ, একটি ছোট বল প্রয়োগ করে বৃহত্তর পিস্টনে অনেক বেশি বল লাভ করা যায়। এই নীতিটিই বল বৃদ্ধিকরণ নীতি।

প্যাসকেলের সূত্রের ব্যবহার

প্যাসকেলের এই মৌলিক নীতিটি দৈনন্দিন জীবনে ব্যবহৃত বহু প্রযুক্তির ভিত্তি। এর উল্লেখযোগ্য কিছু ব্যবহার হলো:

1. হাইড্রোলিক প্রেস (Hydraulic Press): ভারী বস্তু উত্তোলন, পাট ও তুলার গাঁট বাঁধা বা ধাতব পাতকে প্রয়োজন অনুযায়ী আকার দেওয়ার কাজে এটি ব্যবহৃত হয়। এর মূলনীতি হলো, ছোট পিস্টনে অল্প বল প্রয়োগ করে বলকে বহুগুণে বৃদ্ধি করে বড় পিস্টনে কাজ করানো।
2. হাইড্রোলিক জ্যাক (Hydraulic Jack) ও লিফট (Hydraulic Lift): গাড়ি সার্ভিসিং স্টেশন বা নির্মাণ কাজে ব্যবহৃত ভারী বস্তুকে সহজে উপরে তোলার জন্য হাইড্রোলিক জ্যাক ও লিফট প্যাসকেলের সূত্র মেনে চলে।
3. হাইড্রোলিক ব্রেক (Hydraulic Brake): মোটরগাড়ি ও অন্যান্য যানবাহনে ব্যবহৃত হাইড্রোলিক ব্রেক সিস্টেমে প্যাসকেলের সূত্র কার্যকর। চালক ব্রেক প্যাডেলে সামান্য চাপ দিলেও, সেই চাপ তরলের মাধ্যমে সকল চাকার ব্রেকিং মেকানিজমে বহুগুণে সঞ্চালিত হয়ে দ্রুত এবং কার্যকরভাবে গাড়ি থামিয়ে দেয়।
4. কম্প্রেসর (Compressor) ও ডেন্টাল চেয়ার (Dental Chair): কম্প্রেশন সিস্টেমে এবং ডেন্টিস্টের চেয়ারেও তরল বা বায়বীয় পদার্থের ওপর চাপ প্রয়োগের মাধ্যমে প্রয়োজনীয় কার্য সম্পন্ন করা হয়।

প্যাসকেলের সূত্র ও এর ব্যবহার কুইজ

প্রশ্ন ১

প্যাসকেলের সূত্রের মূলনীতি অনুসারে একটি আবদ্ধ ও স্থিত তরলের কোনো অংশে চাপ প্রয়োগ করলে তা কীভাবে সঞ্চালিত হয়?

শুধুমাত্র পাত্রের উপরের অংশে সঞ্চালিত হয়। সমভাবে ও অপরিবর্তিতভাবে তরলের সকল অংশে সঞ্চালিত হয়। ক্ষেত্রফল পরিবর্তনের সাথে সাথে চাপের মানও পরিবর্তিত হয়। প্রযুক্ত বলের সমানুপাতিক হারে বিপরীত দিকে সঞ্চালিত হয়।

চাপের সঞ্চালন প্রক্রিয়াটি বোঝার চেষ্টা করুন—এটি কি হ্রাস পায় নাকি একই থাকে?

প্রশ্ন ২

প্যাসকেলের সূত্রটি কোন বিজ্ঞানী কত সালে প্রণয়ন করেন?

আর্কিমিডিস, ৩০০ খ্রিষ্টপূর্বাব্দে আইজ্যাক নিউটন, ১৬৮৭ সালে ব্লেইস প্যাসকেল, ১৬৫৩ সালে গ্যালিলিও গ্যালিলি, ১৬৩২ সালে

সূত্রটির নাম থেকেই বিজ্ঞানীর নামটি সহজে অনুমান করা যায়। সনটি প্রবন্ধের প্রথম দিকেই উল্লেখ করা আছে।

প্রশ্ন ৩

হাইড্রোলিক প্রেসের ক্ষুদ্রতর পিস্টন (\(A_1\) ক্ষেত্রফল) এর উপর \(F_1\) বল প্রয়োগ করলে সৃষ্ট চাপের গাণিতিক প্রকাশ কী?

\(P = F_1 \times A_1\) \(P = A_1 \times F_1^2\) \(P = \frac{F_1}{A_1}\) \(P = \frac{A_1}{F_1}\)

চাপের একক মনে করার চেষ্টা করুন—বল ও ক্ষেত্রফলের মধ্যে সম্পর্কটি কী?

প্রশ্ন ৪

প্যাসকেলের বল বৃদ্ধিকরণ নীতিতে, যদি বৃহত্তর পিস্টনের ক্ষেত্রফল \(A_2\) ক্ষুদ্রতর পিস্টনের ক্ষেত্রফল \(A_1\)-এর চেয়ে পাঁচ গুণ বেশি হয় (\(A_2 = 5A_1\)), তাহলে \(F_2\) বল \(F_1\) বলের কত গুণ হবে?

এক-পঞ্চমাংশ (\(\frac{1}{5}\)) অপরিবর্তিত থাকবে পাঁচ গুণ ২৫ গুণ

বল ও ক্ষেত্রফলের মধ্যে অনুপাতের সম্পর্কটি মনে করুন: \(\frac{F_2}{F_1} = \frac{A_2}{A_1}\)।

প্রশ্ন ৫

প্যাসকেলের সূত্রের ওপর ভিত্তি করে কাজ করা একটি যন্ত্রের নাম কী, যা ভারী বস্তু উত্তোলনে ব্যবহৃত হয়?

সাধারণ তুলা যন্ত্র (Beam Balance) হাইড্রোলিক প্রেস থার্মোমিটার (Thermometer) স্প্রিং নিক্তি (Spring Balance)

এই যন্ত্রটি 'হাইড্রোলিক' শব্দটি দিয়ে শুরু হয়।

প্রশ্ন ৬

প্যাসকেলের সূত্রটি মূলত কোন ধরনের পদার্থের আচরণের জন্য প্রযোজ্য?

শুধুমাত্র কঠিন পদার্থ শুধুমাত্র বায়বীয় পদার্থ আবদ্ধ ও স্থিত তরল বা বায়বীয় পদার্থ গতিশীল কঠিন পদার্থ

প্রবন্ধে 'স্থিতি-তরল' শব্দটি ব্যবহার করা হয়েছে।

প্রশ্ন ৭

একটি হাইড্রোলিক যন্ত্রে বল বৃদ্ধিকরণ নীতি কার্যকর হওয়ার প্রধান কারণ কোনটি?

ছোট পিস্টন থেকে বড় পিস্টনে তরলের পরিমাণ বৃদ্ধি পায়। ছোট পিস্টনে সৃষ্ট চাপ অপরিবর্তিতভাবে বড় পিস্টনে সঞ্চালিত হয়। বড় পিস্টনের উপর মাধ্যাকর্ষণ বল বৃদ্ধি পায়। পিস্টন দুটির উচ্চতার মধ্যে তারতম্য সৃষ্টি হয়।

চাপের সংজ্ঞা এবং প্যাসকেলের সূত্রের মধ্যে সম্পর্কটি মনে করুন।

প্রশ্ন ৮

মোটরগাড়ি ও অন্যান্য যানবাহনে ব্যবহৃত হাইড্রোলিক ব্রেক সিস্টেমে প্যাসকেলের সূত্রের প্রয়োগ কীভাবে দেখা যায়?

টায়ারের বাতাসের ঘনত্ব পরিবর্তনের মাধ্যমে ব্রেক প্যাডেলে সামান্য চাপ দিলেও, সেই চাপ সকল চাকার ব্রেকিং মেকানিজমে বহুগুণে সঞ্চালিত হয়। চাকার ঘূর্ণন গতি হ্রাসের মাধ্যমে গাড়ির ইঞ্জিনের কম্প্রেশন অনুপাত পরিবর্তনের মাধ্যমে

ব্রেকের ক্ষেত্রে বল বা চাপ কোথায় গিয়ে 'বৃদ্ধি' পায় বা কার্যকর হয় তা ভাবুন।

প্রশ্ন ৯

যদি হাইড্রোলিক সিস্টেমে \(F_1 = 100\ N\), \(A_1 = 2\ m^2\) এবং \(A_2 = 10\ m^2\) হয়, তাহলে বৃহত্তর পিস্টনে ($F_2$) কত বল অনুভূত হবে?

\(100\ N\) \(20\ N\) \(500\ N\) \(1000\ N\)

বল বৃদ্ধির অনুপাত ক্ষেত্রফল বৃদ্ধির অনুপাতের সমান। \(\frac{A_2}{A_1}\) এর মান বের করুন।

প্রশ্ন ১০

নিম্নলিখিত কোন যন্ত্রটি প্যাসকেলের সূত্রের প্রত্যক্ষ প্রয়োগ নয়?

ডেন্টাল চেয়ারের উচ্চতা সমন্বয় ব্যবস্থা সাবমেরিনের প্লবতা নিয়ন্ত্রণ ব্যবস্থা গাড়ির হাইড্রোলিক জ্যাক হাইড্রোলিক ব্রেক সিস্টেম

কোন যন্ত্রটি চাপ সঞ্চালনের পরিবর্তে বস্তুর ভাসমান বা ডুবে যাওয়ার সাথে সম্পর্কিত?

প্যাসকেলের সূত্রের বল বৃদ্ধিকরণ নীতি: সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক (Scenario)

একটি গাড়ি মেরামতের গ্যারেজে একটি হাইড্রোলিক জ্যাক ব্যবহার করা হয়। জ্যাকটির ছোট পিস্টনের ক্ষেত্রফল (\(A_1\)) হলো \(10 \text{ cm}^2\) এবং বড় পিস্টনের ক্ষেত্রফল (\(A_2\)) হলো \(1000 \text{ cm}^2\)। গাড়িটিকে তোলার জন্য ছোট পিস্টনের উপর \(200 \text{ N}\) বল (\(F_1\)) প্রয়োগ করা হলো।

• ছোট পিস্টনের ক্ষেত্রফল (\(A_1\)) = \(10 \text{ cm}^2\)
• বড় পিস্টনের ক্ষেত্রফল (\(A_2\) = \(1000 \text{ cm}^2\)
• প্রয়োগকৃত বল (\(F_1\)) = \(200 \text{ N}\)

সৃজনশীল প্রশ্ন (Creative Question)

1. ক। জ্ঞানমূলক (Knowledge-based):

   প্যাসকেলের সূত্রটি বিবৃত করো।

2. খ। অনুধাবনমূলক (Understanding-based):

   প্যাসকেলের সূত্র ব্যবহার করে হাইড্রোলিক জ্যাককে কেন একটি "বল বৃদ্ধিকরণ যন্ত্র" বলা হয়? ব্যাখ্যা করো।

3. গ। প্রয়োগমূলক (Application-based):

   উদ্দীপকে উল্লিখিত হাইড্রোলিক জ্যাকটির সাহায্যে সর্বোচ্চ কত নিউটন (N) বল উৎপন্ন হবে, তা গাণিতিকভাবে নির্ণয় করো।

   [সংকেত: \( \frac{F_1}{A_1} = \frac{F_2}{A_2}\) সূত্রটি ব্যবহার করো।]

4. ঘ। উচ্চতর চিন্তন দক্ষতা (Higher-Order Thinking Skill-based):

   ছোট পিস্টনে কম বল প্রয়োগ করে বড় পিস্টনে বেশি বল পাওয়ার বিষয়টি কি শক্তির সংরক্ষণ নীতির পরিপন্থী? তোমার উত্তরের সপক্ষে গাণিতিক নীতি দ্বারা বিশ্লেষণ করো।

প্যাসকেলের সূত্রের বল বৃদ্ধিকরণ নীতি: সমাধান

1. ১। ক। জ্ঞানমূলক (Knowledge-based):

   প্যাসকেলের সূত্রটি বিবৃত করো।

   উত্তর:

   প্যাসকেলের সূত্র (Pascal's Principle) হলো:

   "রুদ্ধ ও স্থির তরল বা বায়বীয় পদার্থের কোনো অংশের উপর বাইরে থেকে চাপ প্রয়োগ করলে সেই চাপ বিন্দুমাত্র হ্রাস না পেয়ে তরল বা বায়বীয় পদার্থের সকল দিকে সমানভাবে সঞ্চালিত হয়।"

2. ২। খ। অনুধাবনমূলক (Understanding-based):

   প্যাসকেলের সূত্র ব্যবহার করে হাইড্রোলিক জ্যাককে কেন একটি "বল বৃদ্ধিকরণ যন্ত্র" বলা হয়? ব্যাখ্যা করো।

   উত্তর:

   প্যাসকেলের সূত্রানুসারে, একটি হাইড্রোলিক যন্ত্রের দুটি পিস্টনের উপর সৃষ্ট চাপ সর্বদা সমান হয়। অর্থাৎ, ছোট পিস্টনে প্রযুক্ত চাপ (\(P_1\)) বড় পিস্টনে সৃষ্ট চাপের (\(P_2\)) সমান হবে:

   $$P_1 = P_2$$

   $$\frac{F_1}{A_1} = \frac{F_2}{A_2}$$

   এখানে, \(F\) হলো বল এবং \(A\) হলো ক্ষেত্রফল।

   এই সূত্র থেকে বড় পিস্টনে উৎপন্ন বল (\(F_2\)) পাওয়া যায়:

   $$F_2 = F_1 \times \frac{A_2}{A_1}$$

   যেহেতু হাইড্রোলিক জ্যাকের নকশায় বড় পিস্টনের ক্ষেত্রফল (\(A_2\)) ছোট পিস্টনের ক্ষেত্রফল (\(A_1\)) এর চেয়ে অনেক বেশি হয়, তাই \(\left(\frac{A_2}{A_1}\right)\) অনুপাতটির মান সবসময় ১ এর চেয়ে বড় হয়। ফলে, ছোট পিস্টনে যে সামান্য বল (\(F_1\)) প্রয়োগ করা হয়, সেটি \(\left(\frac{A_2}{A_1}\right)\) গুণ বৃদ্ধি পেয়ে বড় পিস্টনে অনেক বেশি বল (\(F_2\)) হিসেবে উৎপন্ন হয়। এই কারণে হাইড্রোলিক জ্যাককে "বল বৃদ্ধিকরণ যন্ত্র" বা বল গুণক (Force Multiplier) বলা হয়।

3. ৩। গ। প্রয়োগমূলক (Application-based):

   উদ্দীপকে উল্লিখিত হাইড্রোলিক জ্যাকটির সাহায্যে সর্বোচ্চ কত নিউটন (N) বল উৎপন্ন হবে, তা গাণিতিকভাবে নির্ণয় করো।

   উত্তর:

   প্রদত্ত মানসমূহ:

   • ছোট পিস্টনের ক্ষেত্রফল (\(A_1\)) = \(10 \text{ cm}^2\)
   • বড় পিস্টনের ক্ষেত্রফল (\(A_2\)) = \(1000 \text{ cm}^2\)
   • প্রয়োগকৃত বল (\(F_1\)) = \(200 \text{ N}\)
   • উৎপন্ন বল (\(F_2\)) = ?

   সূত্র:

   প্যাসকেলের সূত্রানুসারে,

   $$\frac{F_1}{A_1} = \frac{F_2}{A_2}$$

   নির্ণয়:

   আমরা \(F_2\) এর জন্য সূত্রটি সাজাই:

   $$F_2 = F_1 \times \frac{A_2}{A_1}$$

   মান বসিয়ে পাই:

   $$F_2 = 200 \text{ N} \times \frac{1000 \text{ cm}^2}{10 \text{ cm}^2}$$

   $$F_2 = 200 \text{ N} \times 100$$

   $$F_2 = 20000 \text{ N}$$

   সিদ্ধান্ত: উদ্দীপকের হাইড্রোলিক জ্যাকটির সাহায্যে সর্বোচ্চ \(20000 \text{ N}\) বল উৎপন্ন হবে।

4. ৪। ঘ। উচ্চতর চিন্তন দক্ষতা (Higher-Order Thinking Skill-based):

   ছোট পিস্টনে কম বল প্রয়োগ করে বড় পিস্টনে বেশি বল পাওয়ার বিষয়টি কি শক্তির সংরক্ষণ নীতির পরিপন্থী? তোমার উত্তরের সপক্ষে গাণিতিক নীতি দ্বারা বিশ্লেষণ করো।

   উত্তর:

   না, ছোট পিস্টনে কম বল প্রয়োগ করে বড় পিস্টনে বেশি বল পাওয়ার বিষয়টি শক্তির সংরক্ষণ নীতির পরিপন্থী নয়।

   গাণিতিক বিশ্লেষণ:

   শক্তির সংরক্ষণ নীতি অনুসারে, একটি আদর্শ যন্ত্রে প্রযুক্ত কাজ (Work Input) এবং প্রাপ্ত কাজ (Work Output) সর্বদা সমান হয়।

   প্রযুক্ত কাজ (\(W_{\text{in}}\)) = প্রাপ্ত কাজ \((W_{\text{out}})\)

   কাজ (\(W\)) = বল (\(F\)) \(\times\) সরণ (\(d\) বা \(h\))

   $$\therefore F_1 \times d_1 = F_2 \times d_2$$

   যদিও এই ব্যবস্থায় বলের বৃদ্ধি ঘটে (\(F_2 > F_1\)), কিন্তু এর সাথে সাথে সরণ বা দূরত্বের হ্রাস ঘটে। অর্থাৎ, যে অনুপাতে বল বৃদ্ধি পায়, ঠিক সেই অনুপাতে সরণ কমে যায়।

   আমরা জানি যে, তরলের আয়তন অপরিবর্তিত থাকে। ছোট পিস্টন \(d_1\) দূরত্ব নামলে যে পরিমাণ তরল স্থানচ্যুত হয় (\(V_1\)) তা বড় পিস্টনকে \(d_2\) দূরত্বে তুলতে ব্যবহৃত হয় (\(V_2\))।

   $$V_1 = V_2$$

   $$A_1 \times d_1 = A_2 \times d_2$$

   এখান থেকে সরণের অনুপাত পাওয়া যায়:

   $$\frac{d_1}{d_2} = \frac{A_2}{A_1}$$

   আবার, প্যাসকেলের সূত্র থেকে বলের অনুপাত পাই:

   $$\frac{F_2}{F_1} = \frac{A_2}{A_1}$$

   এই দুটি সমীকরণ তুলনা করলে দেখা যায়:

   $$\frac{F_2}{F_1} = \frac{d_1}{d_2}$$

   বা,

   $$F_1 \times d_1 = F_2 \times d_2$$

   যা প্রমাণ করে যে, প্রযুক্ত কাজ (\(F_1 \times d_1\)) এবং প্রাপ্ত কাজ (\(F_2 \times d_2\)) সমান। এই ব্যবস্থাটি বলকে গুণিত করে বটে, কিন্তু একই সাথে সরণের পরিমাণকে হ্রাস করে। অর্থাৎ, এখানে শক্তির কোনো নতুন সৃষ্টি বা বিনাশ হয় না, বরং এক রূপ থেকে অন্য রূপে (কম দূরত্বের জন্য বেশি বল) রূপান্তরিত হয়। তাই এই যন্ত্রটি শক্তির সংরক্ষণ নীতিকে সম্পূর্ণভাবে সমর্থন করে।

উপসংহার

প্যাসকেলের সূত্র পদার্থবিজ্ঞানের এক যুগান্তকারী আবিষ্কার। এই সূত্র বলকে সুবিধাজনকভাবে এক স্থান থেকে অন্য স্থানে সঞ্চালনের এবং বলকে বহুগুণে বৃদ্ধির সুযোগ করে দিয়েছে। আধুনিক শিল্প, পরিবহন এবং চিকিৎসা ব্যবস্থার অসংখ্য যন্ত্রপাতির কার্যপ্রণালী এই নীতির ওপর ভিত্তি করে নির্মিত, যা প্যাসকেলের সূত্রকে প্রযুক্তির ইতিহাসে এক অপরিহার্য স্থান দিয়েছে।