এইচএসসি পদার্থবিজ্ঞান: বিও-সাভার্ট সূত্র ও এর গাণিতিক সমস্যার সমাধান
বিও-সাভার্ট সূত্র ব্যবহার করে কীভাবে তড়িৎবাহী পরিবাহীর চৌম্বক ক্ষেত্র নির্ণয় করা যায়? এই ব্লগে আমরা অসীম দৈর্ঘ্যের সোজা তার এবং বৃত্তাকার কুণ্ডলীর গাণিতিক প্রতিপাদন ও গুরুত্বপূর্ণ সৃজনশীল সমস্যার সমাধান নিয়ে আলোচনা করেছি।
বিও-সাভার্ট সূত্র (Biot-Savart Law)
১. ভূমিকা
১৮২০ সালে ফরাসি পদার্থবিদ জিন-ব্যাপটিস্ট বিও এবং ফেলিক্স সাভার্ট একটি বিদ্যুৎবাহী পরিবাহীর মধ্য দিয়ে তড়িৎ প্রবাহের ফলে তার চারপাশের কোনো বিন্দুতে উৎপন্ন চৌম্বক ক্ষেত্রের মান নির্ণয়ের জন্য একটি সূত্র প্রদান করেন। এটি তড়িৎচৌম্বকবিদ্যার একটি ভিত্তিপ্রস্তর হিসেবে বিবেচিত।
বায়ো-সাভার্ট সূত্র (The Biot-Savart Law)
কোনো পরিবাহীর মধ্য দিয়ে তড়িৎ প্রবাহ চললে এর আশেপাশে কোনো বিন্দুর চৌম্বকক্ষেত্র $\vec{B}$ এর মান বের করার জন্য ল্যাপ্লাস একটি সূত্র প্রদান করেন যা ল্যাপ্লাসের সূত্র নামে পরিচিত। জীন ব্যাপ্টিস্ট বায়ো এবং ফেলিক্স সাভার্ট সর্বপ্রথম পরীক্ষার মাধ্যমে ল্যাপ্লাসের সূত্রের সত্যতা প্রমাণ করেন বলে এই সূত্রটিকে বায়ো-সাভার্ট সূত্রও বলা হয়।
সূত্র : নির্দিষ্ট মাধ্যমে কোনো পরিবাহীর ক্ষুদ্র দৈর্ঘ্যের ভেতর দিয়ে তড়িৎ প্রবাহ চলার ফলে এর আশেপাশে কোনো বিন্দুতে সৃষ্ট চৌম্বকক্ষেত্রের মান পরিবাহীর ক্ষুদ্র দৈর্ঘ্যের সমানুপাতিক, তড়িৎপ্রবাহের সমানুপাতিক, পরিবাহীর ঐ অংশের মধ্যবিন্দু থেকে ঐ বিন্দুর দূরত্বের বর্গের ব্যস্তানুপাতিক, পরিবাহী এবং পরিবাহীর ঐ অংশের মধ্যবিন্দু ও ঐ বিবেচিত বিন্দুর সংযোজক সরলরেখার অন্তর্ভুক্ত কোণের সাইনের সমানুপাতিক।
কোনো পরিবাহীর ক্ষুদ্র দৈর্ঘ্য $dl$ এর ভেতর দিয়ে যদি $I$ তড়িৎ প্রবাহ চলে তবে পরিবাহীর ঐ অংশের মধ্যবিন্দু থেকে $\theta$ কোণে $r$ দূরত্বে অবস্থিত কোনো বিন্দু $P$ তে চৌম্বক ক্ষেত্র $dB$ এর মান হবে:
$dB \propto \frac{I \, dl \sin\theta}{r^2}$
বা, $dB = K \frac{I \, dl \sin\theta}{r^2}$ --- (১)
এখানে $K$ একটি সমানুপাতিক ধ্রুবক। এর মান রাশিগুলোর একক ও মাধ্যমের চৌম্বক ধর্মের উপর নির্ভর করে।
শূন্যস্থানে বায়ো-সাভার্ট সূত্র :
এস. আই এককে চৌম্বকক্ষেত্রকে টেসলা (T), তড়িৎপ্রবাহকে অ্যাম্পিয়ার (A) এবং দৈর্ঘ্য ও দূরত্বকে মিটার (m)-এ পরিমাপ করলে শূন্যস্থানে বায়ো-সাভার্ট সূত্রের সমানুপাতিক ধ্রুবক $K$-এর মান পাওয়া যায় $10^{-7} \, \text{TmA}^{-1}$। এস. আই পদ্ধতিতে এই সমানুপাতিক ধ্রুবককে লেখা হয়,
$K = \frac{\mu_0}{4\pi}$
এখানে $\mu_0$ হচ্ছে একটি ধ্রুব সংখ্যা যাকে শূন্যস্থানের চৌম্বক প্রবেশ্যতা (permeability of free space or vacuum) বলে। এর মান হচ্ছে,
$\mu_0 = 4\pi \times 10^{-7} \, \text{TmA}^{-1}$
সুতরাং শূন্যস্থানে বায়ো-সাভার্ট সূত্রের রূপ হলো,
$dB = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{Idl \sin\theta}{r^2}$ --- (২)
যে কোনো মাধ্যমে বায়ো-সাভার্ট সূত্র :
তড়িৎ প্রবাহের ফলে সৃষ্ট চৌম্বকক্ষেত্রের মান মাধ্যমের ওপর তথা মাধ্যমের চৌম্বক প্রবেশ্যতার ওপর নির্ভর করে। $\mu$ চৌম্বক প্রবেশ্যতা বিশিষ্ট মাধ্যমে বায়ো-সাভার্ট সূত্রের রূপ হলো,
$dB = \frac{\mu}{4\pi} \frac{Idl \sin\theta}{r^2}$ --- (৩)
সম্পূর্ণ তড়িৎবাহী পরিবাহীর জন্য $P$ বিন্দুতে চৌম্বক ক্ষেত্র $\vec{B}$ এর মান হিসাব করতে হলে (২) বা (৩) সমীকরণকে যোগজীকরণ করতে হবে। সুতরাং শূন্য স্থানের জন্য বায়ো-সাভার্ট সূত্র:
$B = \int \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{Idl \sin\theta}{r^2} = \frac{\mu_0 I}{4\pi} \int \frac{dl \sin\theta}{r^2}$ --- (৪)
এখানে যোগজীকরণের সীমা এমনভাবে নির্ধারণ করতে হবে যেন যোগজীকরণ পরিবাহীর সম্পূর্ণ দৈর্ঘ্য ব্যাপী হয়।
বায়ো-সাভার্ট সূত্রের ভেক্টর রূপ হচ্ছে,
$\vec{B} = \int d\vec{B} = \int \frac{\mu_0 I}{4\pi} \frac{d\vec{l} \times \vec{r}}{r^3} = \frac{\mu_0 I}{4\pi} \int \frac{d\vec{l} \times \vec{r}}{r^3}$ --- (৫)
৩. ব্যবহারিক প্রয়োগ
এই সূত্রটি পদার্থবিজ্ঞানের বিভিন্ন ক্ষেত্রে ব্যাপকভাবে ব্যবহৃত হয়:
- সোজা পরিবাহী তার: অসীম দৈর্ঘ্যের সোজা তারের পাশে চৌম্বক ক্ষেত্র নির্ণয়ে।
- বৃত্তাকার কুণ্ডলী: তড়িৎবাহী বৃত্তাকার লুপ বা কুণ্ডলীর কেন্দ্রে ও অক্ষের ওপর চৌম্বক মান বের করতে।
- সলিনয়েড: সলিনয়েডের অভ্যন্তরে চৌম্বক ক্ষেত্রের প্রাবল্য নির্ণয়ে এটি প্রাথমিক ভিত্তি হিসেবে কাজ করে।
বিও-সাভার্ট সূত্রের প্রয়োগ (Applications of Biot-Savart's Law)
পদার্থবিজ্ঞানের তড়িৎ চৌম্বকত্ব অংশে বিও-সাভার্ট সূত্র অত্যন্ত গুরুত্বপূর্ণ। আজ আমরা দেখব কীভাবে এই সূত্র ব্যবহার করে একটি অসীম দৈর্ঘ্যের সোজা তড়িৎবাহী তারের নিকটস্থ কোনো বিন্দুতে চৌম্বক ক্ষেত্রের মান নির্ণয় করা যায়।
অসীম দৈর্ঘ্যের তড়িৎবাহী সরল তারের চৌম্বক ক্ষেত্র
ধরা যাক, বায়ু বা শূন্যস্থানে একটি দীর্ঘ ও সোজা পরিবাহী তার $XY$ অবস্থিত। তারটির মধ্য দিয়ে $X$ থেকে $Y$ অভিমুখে $I$ পরিমাণ তড়িৎ প্রবাহিত হচ্ছে। এই প্রবাহের দরুণ তার থেকে $a$ দূরত্বে অবস্থিত $P$ বিন্দুতে চৌম্বক ক্ষেত্রের মান $B$ নির্ণয় করতে হবে।
গাণিতিক বিশ্লেষণ ও চিত্রায়ন
চিত্রে ব্যবহৃত চলকসমূহ:
- $QP = a$ : পরিবাহী থেকে $P$ বিন্দুর লম্ব দূরত্ব।
- $dl$ : তারের একটি অতি ক্ষুদ্র অংশ (Current element)।
- $r$ : ক্ষুদ্র অংশ $dl$ থেকে $P$ বিন্দুর দূরত্ব।
- $\theta$ : তড়িৎ প্রবাহের দিক এবং দূরত্বের মধ্যবর্তী কোণ।
বিও-সাভার্ট সূত্রানুসারে, ক্ষুদ্র অংশ $dl$ এর জন্য $P$ বিন্দুতে চৌম্বক ক্ষেত্র:
$$dB = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{I dl \sin \theta}{r^2}$$
সমাকলন বা ইন্টিগ্রেশন
যেহেতু তারটি অসীম দৈর্ঘ্যের, তাই সম্পূর্ণ তারের জন্য মোট চৌম্বক ক্ষেত্র পেতে আমাদের $-\infty$ থেকে $+\infty$ সীমার মধ্যে সমাকলন করতে হবে:
$$B = \frac{\mu_0 I}{4\pi} \int_{-\infty}^{\infty} \frac{dl \sin \theta}{r^2} \quad \dots (1)$$
জ্যামিতিক সম্পর্ক থেকে আমরা পাই:
$\cot \theta = \frac{-l}{a} \implies l = -a \cot \theta$
অন্তরীকরণ করলে: $dl = a \csc^2 \theta \, d\theta$
আবার, $r = a \csc \theta$
সীমা পরিবর্তন: যখন $l = -\infty$, তখন $\theta \to 0$ এবং যখন $l = \infty$, তখন $\theta \to \pi$।
চূড়ান্ত সমীকরণ
মানগুলো সমীকরণ (1)-এ বসিয়ে পাই:
$$B = \frac{\mu_0 I}{4\pi} \int_{0}^{\pi} \frac{(a \csc^2 \theta \, d\theta) \sin \theta}{(a \csc \theta)^2}$$
$$B = \frac{\mu_0 I}{4\pi a} \int_{0}^{\pi} \sin \theta \, d\theta$$
$$B = \frac{\mu_0 I}{4\pi a} [-\cos \theta]_{0}^{\pi}$$
$$B = \frac{\mu_0 I}{4\pi a} [-(-1) - (-1)] = \frac{\mu_0 I}{4\pi a} [2]$$
অতএব, অসীম দৈর্ঘ্যের তারের জন্য চৌম্বক ক্ষেত্র:
$$B = \frac{\mu_0 I}{2\pi a}$$
আশা করি এই গাণিতিক প্রতিপাদনটি আপনাদের বুঝতে সহায়ক হয়েছে। কোনো প্রশ্ন থাকলে কমেন্ট বক্সে জানাতে পারেন!
তড়িৎবাহী বৃত্তাকার কুণ্ডলীর কেন্দ্রে চৌম্বকক্ষেত্র
একটি বৃত্তাকার কুণ্ডলী বিবেচনা করা যাক, যার ব্যাসার্ধ $r$। এই কুণ্ডলীর মধ্য দিয়ে $I$ তড়িৎ প্রবাহ চলছে। কুণ্ডলীর কেন্দ্র $P$ বিন্দুতে চৌম্বকক্ষেত্র $\vec{B}$ এর মান নির্ণয় করতে হবে। ধরা যাক, $YX$ হচ্ছে কুণ্ডলীর ক্ষুদ্রাতিক্ষুদ্র দৈর্ঘ্য $dl$।
এখন বায়ো-সাভার্ট সূত্র থেকে আমরা কুণ্ডলীর ক্ষুদ্র দৈর্ঘ্য $dl$ এর জন্য কুণ্ডলীর কেন্দ্র $P$ তে চৌম্বকক্ষেত্রের মান পাই,
$dB = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{I dl \sin\theta}{r^2}$
এখানে $\theta$ হচ্ছে $dl$ এবং $r$ এর অন্তর্ভুক্ত কোণ। এখন উক্ত সমীকরণকে যোগজীকরণ করে সমগ্র কুণ্ডলীর জন্য $P$ তে চৌম্বকক্ষেত্রের মান পাওয়া যায়। যেহেতু বৃত্তাকার পরিবাহীর দৈর্ঘ্য হচ্ছে কুণ্ডলীর পরিধির দৈর্ঘ্য অর্থাৎ $2\pi r$, সুতরাং যোগজীকরণের সীমা হবে $l = 0$ থেকে $l = 2\pi r$ পর্যন্ত।
$\therefore B = \int dB = \int_{l=0}^{l=2\pi r} \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{I dl \sin\theta}{r^2}$
যেহেতু কুণ্ডলীর সকল বিন্দু থেকে বৃত্তের কেন্দ্র $P$ এর দূরত্ব $r$ সমান এবং কুণ্ডলীর যে কোনো অংশ $dl$ এবং $r$ এর অন্তর্ভুক্ত কোণ সর্বদা $\theta = 90^\circ$; সুতরাং
$B = \int_{l=0}^{l=2\pi r} \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{I dl \sin 90^\circ}{r^2} = \frac{\mu_0 I}{4\pi r^2} \int_{l=0}^{l=2\pi r} dl$
$= \frac{\mu_0 I}{4\pi r^2} [l]_0^{2\pi r} = \frac{\mu_0 I \times 2\pi r}{4\pi r^2}$
$\therefore B = \frac{\mu_0 I}{2r}$
কুণ্ডলীর পাক সংখ্যা $N$ হলে,
$B = \frac{\mu_0 NI}{2r}$
দিক: উক্ত অনুচ্ছেদে বর্ণিত যে কোনো সূত্র ব্যবহার করে চৌম্বক ক্ষেত্রের দিক পাওয়া যায়। বৃত্তাকার কুণ্ডলীর কেন্দ্রে চৌম্বক ক্ষেত্রের অভিমুখ কুণ্ডলীর তলের সাথে লম্ব। যদি কুণ্ডলীর দিকে তাকালে প্রবাহের অভিমুখ ঘড়ির কাঁটার গতির দিকে হয় তবে চৌম্বক ক্ষেত্রের দিক হবে কুণ্ডলী তলের লম্ব বরাবর ভেতরের দিকে আর প্রবাহের অভিমুখ যদি ঘড়ির কাঁটার গতির বিপরীত দিকে হয় তবে চৌম্বক ক্ষেত্রের দিক হবে কুণ্ডলী তলের লম্ব বরাবর বাইরের দিকে।
৪. গুরুত্ব
বিও-সাভার্ট সূত্র তড়িৎ প্রবাহ ও চৌম্বক ক্ষেত্রের মধ্যে একটি গাণিতিক সম্পর্ক স্থাপন করে। এটি স্থির তড়িৎ বিজ্ঞানে 'কুলম্বের সূত্রের' অনুরূপ ভূমিকা পালন করে। চৌম্বক ফ্লাক্স ঘনত্ব এবং মোটরের কার্যপ্রণালী বোঝার জন্য এই সূত্রের জ্ঞান অপরিহার্য।
৫. গাণিতিক সমস্যা ও সমাধান
সমাধান:
আমরা জানি, সোজা তারের জন্য \(B = \frac{μ₀ I}{2π r}\)
এখানে, \(I = 5 \, A\), \(r = 0.1 \, m\), এবং \(μ₀ = 4π \times 10^{-7}\)
অতএব, \(B = \frac{4π \times 10^{-7} \times 5}{2π \times 0.1} = 1 \times 10^{-5} \, T\)।
সৃজনশীল প্রশ্ন ও সমাধান
উদ্দীপক: একটি লম্বা সোজা পরিবাহী তারের মধ্য দিয়ে \( 10 \, A \) তড়িৎ প্রবাহিত হচ্ছে। তারটি থেকে \( 5 \, cm \) দূরে একটি বিন্দু P অবস্থিত। অন্যদিকে, ওই একই মানের তড়িৎ প্রবাহ চালনা করে \( 10 \, cm \) ব্যাসার্ধের একটি বৃত্তাকার কুণ্ডলী তৈরি করা হলো।
সৃজনশীল প্রশ্নসমূহ
ক) বিও-সাভার্ট সূত্রটি বিবৃত করো।
(১ নম্বর)
খ) চৌম্বক ক্ষেত্র একটি ভেক্টর রাশি কেন? ব্যাখ্যা করো।
(২ নম্বর)
গ) উদ্দীপকের লম্বা সোজা তারটি থেকে P বিন্দুতে উৎপন্ন চৌম্বক ক্ষেত্রের মান
নির্ণয় করো।
(৩ নম্বর)
ঘ) উদ্দীপকের বৃত্তাকার কুণ্ডলীর কেন্দ্রে উৎপন্ন চৌম্বক ক্ষেত্র এবং P
বিন্দুর চৌম্বক ক্ষেত্রের মধ্যে কোনটি বেশি শক্তিশালী হবে? গাণিতিক বিশ্লেষণের
মাধ্যমে মতামত দাও।
(৪ নম্বর)
সৃজনশীল প্রশ্নের সমাধান
ক) বিও-সাভার্ট সূত্র (Biot-Savart Law):
কোনো পরিবাহী তারের ক্ষুদ্র দৈর্ঘ্যের মধ্য দিয়ে তড়িৎ প্রবাহিত হলে, এর চারপাশের কোনো বিন্দুতে উৎপন্ন চৌম্বক ক্ষেত্রের মান ওই ক্ষুদ্র দৈর্ঘ্যের, তড়িৎ প্রবাহের মানের এবং তার ও বিন্দুর মধ্যবর্তী কোণের সাইন (sine) এর সমানুপাতিক এবং ওই বিন্দু থেকে তারের দূরত্বের বর্গের ব্যস্তানুপাতিক।
সূত্রটি হলো:
$$dB = \frac{\mu_0}{4\pi} \cdot \frac{I \, dl \sin\theta}{r^2}$$
খ) চৌম্বক ক্ষেত্র একটি ভেক্টর রাশি কেন?
চৌম্বক ক্ষেত্র প্রকাশের জন্য মান এবং দিক উভয়েরই প্রয়োজন হয়। কোনো বিন্দুতে চৌম্বক ক্ষেত্রের একটি নির্দিষ্ট মান থাকে এবং ওই বিন্দুতে একটি উত্তর মেরু স্থাপন করলে সেটি যেদিকে বল অনুভব করবে, সেটিই হলো ওই ক্ষেত্রের দিক। যেহেতু চৌম্বক ক্ষেত্র ভেক্টর যোগের নিয়ম মেনে চলে এবং এর নির্দিষ্ট দিক আছে, তাই এটি একটি ভেক্টর রাশি।
গ) লম্বা সোজা তারের জন্য P বিন্দুতে চৌম্বক ক্ষেত্রের মান নির্ণয়:
দেওয়া আছে:
- তড়িৎ প্রবাহ, $I = 10 \, \text{A}$
- দূরত্ব, $r = 5 \, \text{cm} = 0.05 \, \text{m}$
- শূন্যস্থানের প্রবেশ্যতা, $\mu_0 = 4\pi \times 10^{-7} \, \text{T}\cdot\text{m/A}$
সূত্র:
আমরা জানি, লম্বা সোজা তারের ক্ষেত্রে চৌম্বক ক্ষেত্র, $$B = \frac{\mu_0 I}{2\pi r}$$
হিসাব:
$B = \frac{4\pi \times 10^{-7} \times 10}{2\pi \times 0.05}$
$B = \frac{2 \times 10^{-6}}{0.05}$
$B = 4 \times 10^{-5} \, \text{Tesla (T)}$
উত্তর: P বিন্দুতে উৎপন্ন চৌম্বক ক্ষেত্রের মান $4 \times 10^{-5} \, \text{T}$।
ঘ) বৃত্তাকার কুণ্ডলীর কেন্দ্র ও P বিন্দুর চৌম্বক ক্ষেত্রের তুলনা:
১. বৃত্তাকার কুণ্ডলীর কেন্দ্রের চৌম্বক ক্ষেত্র ($B_{center}$):
- ব্যাসার্ধ, $R = 10 \, \text{cm} = 0.1 \, \text{m}$
- তড়িৎ প্রবাহ, $I = 10 \, \text{A}$
সূত্র: $$B_{center} = \frac{\mu_0 I}{2R}$$
হিসাব:
$B_{center} = \frac{4\pi \times 10^{-7} \times 10}{2 \times 0.1}$
$B_{center} = \frac{4\pi \times 10^{-6}}{0.2}$
$B_{center} = 20\pi \times 10^{-6}$
$B_{center} \approx 6.28 \times 10^{-5} \, \text{T}$
২. তুলনা:
- P বিন্দুতে চৌম্বক ক্ষেত্র (গ থেকে প্রাপ্ত), $B_P = 4 \times 10^{-5} \, \text{T}$
- বৃত্তাকার কুণ্ডলীর কেন্দ্রে চৌম্বক ক্ষেত্র, $B_{center} \approx 6.28 \times 10^{-5} \, \text{T}$
যেহেতু $6.28 \times 10^{-5} > 4 \times 10^{-5}$, সেহেতু দেখা যাচ্ছে যে বৃত্তাকার কুণ্ডলীর কেন্দ্রে উৎপন্ন চৌম্বক ক্ষেত্রটি বেশি শক্তিশালী।
মতামত: গাণিতিক বিশ্লেষণ থেকে প্রতীয়মান হয় যে, একই পরিমাণ তড়িৎ প্রবাহ চললেও বৃত্তাকার কুণ্ডলীর জ্যামিতিক কাঠামোর কারণে এর কেন্দ্রে চৌম্বক ক্ষেত্রের তীব্রতা সোজা তার থেকে নির্দিষ্ট দূরত্বে থাকা P বিন্দুর তুলনায় বেশি হবে।
আপনার কি এই সমাধানের কোনো নির্দিষ্ট অংশ নিয়ে আরও বিস্তারিত জানার প্রয়োজন আছে? অথবা আপনি কি অন্য কোনো গাণিতিক সমস্যার সমাধান চাচ্ছেন?
৬. উপসংহার
বিও-সাভার্ট সূত্র তড়িৎবাহী যন্ত্রপাতির নকশা তৈরিতে এবং চৌম্বক ক্ষেত্রের প্রকৃতি বিশ্লেষণে অত্যন্ত গুরুত্বপূর্ণ। আধুনিক তড়িৎ প্রকৌশল এবং ফলিত পদার্থবিজ্ঞানের অগ্রযাত্রায় এই সূত্রের অবদান অনস্বীকার্য।
