স্থির তড়িৎ: কুলম্বের সূত্র ও তড়িৎ প্রাবল্য - বিস্তারিত ও সৃজনশীল প্রশ্ন

স্থির তড়িৎ বিজ্ঞানের মূল ভিত্তি কুলম্বের সূত্র এবং তড়িৎ ক্ষেত্রের প্রাবল্য সম্পর্কে জানুন। এই আর্টিকেলে গাণিতিক ব্যাখ্যাসহ পরীক্ষার উপযোগী গুরুত্বপূর্ণ সৃজনশীল প্রশ্ন ও সমাধান আলোচনা করা হয়েছে।

স্থির তড়িৎ বিজ্ঞানের ভিত্তি: কুলম্বের সূত্র

আপনি যদি ইলেকট্রনিক্স, পদার্থবিজ্ঞান বা তড়িৎ প্রকৌশল নিয়ে পড়তে চান, তবে এই সূত্রটি আপনার জন্য সবচেয়ে গুরুত্বপূর্ণ শুরুর বিন্দু।

কুলম্বের সূত্র কী? (What is Coulomb's Law?)

১৭৮৫ সালে ফরাসি বিজ্ঞানী চার্লস অগাস্টিন ডি কুলম্ব দুটি আহিত বস্তুর (Charged objects) মধ্যে কাজ করা আকর্ষণ বা বিকর্ষণ বল নিয়ে একটি সূত্র প্রদান করেন। তার নামানুসারেই একে কুলম্বের সূত্র বলা হয়।

সহজ কথায়:

"দুটি স্থির বিন্দু চার্জের মধ্যে পারস্পরিক আকর্ষণ বা বিকর্ষণ বলের মান চার্জ দুটির গুণফলের সমানুপাতিক এবং তাদের মধ্যবর্তী দূরত্বের বর্গের ব্যস্তানুপাতিক।"

গাণিতিক রূপ

কুলম্বের সূত্রটিকে আমরা নিচের সমীকরণের মাধ্যমে প্রকাশ করতে পারি:

$$F = k \frac{q_1 q_2}{r^2}$$

এখানে:

$F$: চার্জ দুটির মধ্যে কার্যকর স্থির তড়িৎ বল।
$q_1, q_2$: চার্জ দুটির পরিমাণ।
$r$: চার্জ দুটির মধ্যবর্তী দূরত্ব।
$k$: একটি সমানুপাতিক ধ্রুবক (Coulomb's constant), যার মান মাধ্যমের প্রকৃতির ওপর নির্ভর করে।

শূন্য মাধ্যমে $k$-এর মান সাধারণত $9 \times 10^9 \, \text{N m}^2 \text{C}^{-2}$ ধরা হয়।

মূল বৈশিষ্ট্যসমূহ

চার্জের পরিমাণ: চার্জের পরিমাণ যত বেশি হবে, তাদের মধ্যবর্তী বল তত শক্তিশালী হবে।
দূরত্বের প্রভাব: চার্জ দুটির দূরত্ব দ্বিগুণ করলে বল চার ভাগের এক ভাগ হয়ে যাবে ($1/4$)। অর্থাৎ দূরত্ব বাড়লে বল খুব দ্রুত কমে যায়।
বল কোন দিকে কাজ করে? এই বল সবসময় চার্জ দুটিকে সংযোগকারী সরলরেখা বরাবর কাজ করে।
আকর্ষণ নাকি বিকর্ষণ? চার্জ দুটি যদি একই ধর্মী হয়, তবে তারা একে অপরকে বিকর্ষণ করবে। আর বিপরীত ধর্মী হলে তারা আকর্ষণ করবে।

বাস্তব জীবনে এর প্রয়োগ

পরমাণুর গঠন: নিউক্লিয়াসের প্রোটন এবং কক্ষপথের ইলেকট্রন কুলম্বের বলের কারণেই একে অপরের সাথে যুক্ত থাকে।
স্থির তড়িৎ: শীতকালে চিরুনি দিয়ে চুল আঁচড়ানোর পর তা কাগজের টুকরোকে আকর্ষণ করে—এটিও কুলম্বের বলের উদাহরণ।
জেরোগ্রাফি (ফটোকপি): ফটোকপি মেশিনে টোনার পাউডার কাগজের গায়ে আটকে থাকার জন্য এই বল ব্যবহার করা হয়।

ধ্রুবক $k$ এবং ভেদনযোগ্যতা ($\epsilon_0$) এর সম্পর্ক

কুলম্বের সূত্রে ব্যবহৃত সমানুপাতিক ধ্রুবক $k$ আসলে মাধ্যমের প্রকৃতির ওপর নির্ভর করে। এসআই (SI) এককে শূন্য মাধ্যমের জন্য একে নিচের সমীকরণ দ্বারা প্রকাশ করা হয়:

$$k = \frac{1}{4\pi\epsilon_0}$$

এখানে, $\epsilon_0$ (Epsilon naught) হলো শূন্য মাধ্যমের ভেদ্যতা বা ভেদনযোগ্যতা (Permittivity)। এটি নির্দেশ করে যে একটি নির্দিষ্ট মাধ্যমে ইলেকট্রিক ফিল্ড বা তড়িৎ ক্ষেত্র কতটুকু প্রবাহিত হতে পারে।

$\epsilon_0$ এর মান ও একক:

শূন্য মাধ্যমের জন্য এর একটি নির্দিষ্ট মান রয়েছে:

$$\epsilon_0 \approx 8.854 \times 10^{-12} \, \text{C}^2 \text{N}^{-1} \text{m}^{-2}$$

পূর্ণাঙ্গ সমীকরণ:

যখন আমরা $k$-এর এই মানটি মূল সূত্রে বসাই, তখন কুলম্বের সূত্রটি দাঁড়ায়:

$$F = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \cdot \frac{q_1 q_2}{r^2}$$

কেন এই সম্পর্কটি গুরুত্বপূর্ণ?

মাধ্যমের প্রভাব: যদি চার্জ দুটি পানি বা অন্য কোনো মাধ্যমে থাকে, তবে $\epsilon_0$ এর পরিবর্তে সেই মাধ্যমের ভেদনযোগ্যতা ($\epsilon$) ব্যবহার করতে হয়। এতে বলের মান কমে যায়।
তড়িৎ চৌম্বকীয় তরঙ্গ: এই $\epsilon_0$ মানটি আলোর বেগের ($c$) সাথেও সম্পর্কিত, যা পদার্থবিজ্ঞানের অনেক জটিল হিসাব মেলাতে সাহায্য করে।

কুলম্বের সূত্রের ভেক্টর রূপ (Vector Form of Coulomb's Law)

কুলম্বের বল সবসময় চার্জ দুটির সংযোগকারী সরলরেখা বরাবর কাজ করে। ধরি, $q_1$ চার্জটি $q_2$ চার্জের ওপর $\vec{F}_{21}$ বল প্রয়োগ করছে এবং তাদের মধ্যবর্তী দূরত্বের ভেক্টর $\vec{r}_{21}$।

ভেক্টর পদ্ধতিতে সূত্রটিকে এভাবে লেখা হয়:

$$\vec{F}_{21} = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{q_1 q_2}{r^2} \hat{r}_{21}$$

ব্যাখ্যা:

$\vec{F}_{21}$: $q_1$ চার্জ দ্বারা $q_2$ চার্জের ওপর প্রযুক্ত বল।
$r$: চার্জ দুটির মধ্যবর্তী সরাসরি দূরত্ব (Magnitude)।
$\hat{r}_{21}$: $q_1$ থেকে $q_2$ এর দিকে একটি একক ভেক্টর (Unit Vector), যা বলের দিক নির্দেশ করে।

ভেক্টর রূপের তাৎপর্য:

নিউটনের তৃতীয় সূত্রের প্রতিফলন: কুলম্বের বল নিউটনের গতির তৃতীয় সূত্র মেনে চলে। অর্থাৎ, $q_1$ চার্জ $q_2$-কে যে বলে আকর্ষণ বা বিকর্ষণ করে, $q_2$ চার্জও $q_1$-কে ঠিক একই মানের বিপরীতমুখী বল প্রয়োগ করে।
গাণিতিকভাবে: $$\vec{F}_{12} = -\vec{F}_{21}$$
দিক নির্ণয়:
- যদি $q_1 q_2 \gt 0$ হয় (একই ধর্মী চার্জ), তবে বল বিকর্ষণমূলক হবে।
- যদি $q_1 q_2 \lt 0$ হয় (বিপরীত ধর্মী চার্জ), তবে বল আকর্ষণমূলক হবে।

তড়িৎ ক্ষেত্রের প্রাবল্য (Electric Field Intensity)

১. সংজ্ঞা

তড়িৎ ক্ষেত্রের কোনো বিন্দুতে একটি একক ধনাত্মক আধান স্থাপন করলে সেটি যে বল অনুভব করে, তাকে ওই বিন্দুর তড়িৎ ক্ষেত্রের প্রাবল্য বা তড়িৎ তীব্রতা বলা হয়। এটি একটি ভেক্টর রাশি।

২. গাণিতিক প্রকাশ

ধরা যাক, তড়িৎ ক্ষেত্রের কোনো বিন্দুতে $ q $ মানের একটি আধান স্থাপন করায় সেটি $ F $ বল অনুভব করে। তাহলে ওই বিন্দুর প্রাবল্য $ E $ হবে:

$$ \vec{E} = \frac{\vec{F}}{q} $$

যদি আধানটি উৎস আধান $ Q $ থেকে $ r $ দূরত্বে অবস্থিত হয়, তবে কুলম্বের সূত্রানুসারে প্রাবল্যের মান দাঁড়ায়:

$$ E = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{Q}{r^2} $$

৩. একক ও মাত্রা

একক: তড়িৎ প্রাবল্যের এস.আই (SI) একক হলো নিউটন পার কুলম্ব ($ N/C $) অথবা ভোল্ট পার মিটার ($ V/m $)।
মাত্রা: এর মাত্রা হলো $ [MLT^{-3}A^{-1}] $।

৪. দিক

তড়িৎ প্রাবল্য একটি ভেক্টর রাশি হওয়ায় এর নির্দিষ্ট দিক আছে। ক্ষেত্রটি যদি একটি ধনাত্মক আধানের জন্য হয়, তবে প্রাবল্যের দিক হবে আধান থেকে বাইরের দিকে। আর আধানটি ঋণাত্মক হলে প্রাবল্যের দিক হবে আধানের দিকে।

সৃজনশীল প্রশ্ন ও সমাধান

উদ্দীপক:

A এবং B চার্জ দুটিকে বায়ু মাধ্যমে স্থাপন করা হয়েছে।

গ. চার্জদ্বয়ের মধ্যে ক্রিয়াশীল বলের মান নির্ণয় কর।

ঘ. চার্জদ্বয়ের মধ্যে C বিন্দুতে একটি একক ধনাত্মক চার্জ স্থাপন করা হলো। A ও B চার্জদ্বয়ের কোনটির জন্য C বিন্দুতে তীব্রতা বেশি হবে? গাণিতিকভাবে বিশ্লেষণ কর।

প্রদত্ত তথ্যাদি:

A বিন্দুতে আধান $q_1 = +40\text{ C}$
B বিন্দুতে আধান $q_2 = +20\text{ C}$
A ও C এর মধ্যবর্তী দূরত্ব $r_{AC} = 18\text{ cm} = 0.18\text{ m}$
B ও C এর মধ্যবর্তী দূরত্ব $r_{BC} = 6\text{ cm} = 0.06\text{ m}$
A ও B এর মোট দূরত্ব $r = 18 + 6 = 24\text{ cm} = 0.24\text{ m}$
কুলম্বের ধ্রুবক $k \approx 9 \times 10^9\text{ N}\cdot\text{m}^2/\text{C}^2$

গ. চার্জদ্বয়ের মধ্যে ক্রিয়াশীল বলের মান নির্ণয়:

কুলম্বের সূত্রানুসারে আমরা জানি,

$$F = k \frac{q_1 q_2}{r^2}$$

হিসাব:

$$F = (9 \times 10^9) \frac{40 \times 20}{(0.24)^2}$$
$$F = (9 \times 10^9) \frac{800}{0.0576}$$
$$F \approx 1.25 \times 10^{14}\text{ N}$$

ফলাফল: চার্জদ্বয়ের মধ্যে ক্রিয়াশীল বলের মান **$1.25 \times 10^{14}\text{ N}$**। যেহেতু উভয় চার্জই ধনাত্মক, তাই এটি একটি বিকর্ষণ বল।

ঘ. C বিন্দুতে কোন চার্জের জন্য তীব্রতা বেশি হবে?

কোনো বিন্দুতে তড়িৎ তীব্রতা বা প্রাবল্য ($E$) নির্ণয়ের সূত্র হলো:

$$E = k \frac{q}{r^2}$$

১. A চার্জের জন্য C বিন্দুতে তীব্রতা ($E_A$):

$$E_A = k \frac{40}{(0.18)^2}$$
$$E_A = (9 \times 10^9) \frac{40}{0.0324}$$
$$E_A \approx 1.11 \times 10^{13}\text{ N/C}$$

২. B চার্জের জন্য C বিন্দুতে তীব্রতা ($E_B$):

$$E_B = k \frac{20}{(0.06)^2}$$
$$E_B = (9 \times 10^9) \frac{20}{0.0036}$$
$$E_B \approx 5.00 \times 10^{13}\text{ N/C}$$

গাণিতিক বিশ্লেষণ ও সিদ্ধান্ত:

মান দুটি তুলনা করে দেখা যায় যে,

$$E_B > E_A$$

যদিও A বিন্দুর চার্জ B এর তুলনায় দ্বিগুণ, কিন্তু C বিন্দুটি B এর খুব কাছে অবস্থিত। যেহেতু প্রাবল্য দূরত্বের বর্গের ব্যস্তানুপাতিক, তাই দূরত্ব কম হওয়ায় B চার্জের জন্য C বিন্দুতে তীব্রতা বেশি হবে।

C বিন্দুতে লব্ধি প্রাবল্য (Net Intensity) নির্ণয়

যেহেতু A এবং B উভয়ই ধনাত্মক চার্জ, তাই তারা C বিন্দুতে থাকা একটি একক ধনাত্মক চার্জকে বিপরীত দিকে বিকর্ষণ করবে।

A চার্জের প্রাবল্য ($E_A$): এটি C বিন্দুকে ডানদিকে (B এর দিকে) ঠেলবে।
B চার্জের প্রাবল্য ($E_B$): এটি C বিন্দুকে বামদিকে (A এর দিকে) ঠেলবে।

লব্ধি প্রাবল্য নির্ণয়:

যেহেতু প্রাবল্য দুটি বিপরীতমুখী, তাই লব্ধি প্রাবল্য ($E$) হবে এদের মানের বিয়োগফলের সমান। আমরা জানি:

$E_B \approx 5.00 \times 10^{13} \text{ N/C}$
$E_A \approx 1.11 \times 10^{13} \text{ N/C}$

হিসাব:

$E = E_B - E_A$
$E = (5.00 \times 10^{13}) - (1.11 \times 10^{13})$
$E = 3.89 \times 10^{13} \text{ N/C}$

চূড়ান্ত সিদ্ধান্ত:

C বিন্দুতে লব্ধি প্রাবল্যের মান $3.89 \times 10^{13} \text{ N/C}$ এবং এর দিক হবে B থেকে A এর দিকে (যেহেতু $E_B$ এর মান $E_A$ অপেক্ষা বড়)।

গুরুত্বপূর্ণ সৃজনশীল প্রশ্ন ও সমাধান

সৃজনশীল প্রশ্ন (নমুনা)

উদ্দীপক:
বায়ু মাধ্যমে দুটি বিন্দু আধান $q_1 = +20 \mu\text{C}$ এবং $q_2 = +80 \mu\text{C}$ পরস্পর থেকে $10\text{ cm}$ দূরত্বে অবস্থিত। আধান দুটির মধ্যবর্তী স্থানে একটি বিন্দু P বিবেচনা করা হলো।

প্রশ্নসমূহ:

ক) তড়িৎ ফ্লাক্স কাকে বলে?
খ) কোনো বিন্দুর বিভব $50\text{V}$ বলতে কী বোঝায়?
গ) আধান দুটির মধ্যবর্তী বলের মান নির্ণয় করো।
ঘ) আধান দুটির সংযোগকারী রেখার কোন বিন্দুতে তড়িৎ প্রাবল্য শূন্য হবে? গাণিতিকভাবে বিশ্লেষণ করো।

সমাধান

(ক) এর উত্তর:
কোনো তড়িৎ ক্ষেত্রের মধ্য দিয়ে লম্বভাবে অতিক্রান্ত মোট বলরেখার সংখ্যাকে ওই তলের তড়িৎ ফ্লাক্স বলে।

(খ) এর উত্তর:
কোনো বিন্দুর বিভব $50\text{V}$ বলতে বোঝায়, অসীম দূরত্ব থেকে একটি একক ধনাত্মক আধানকে তড়িৎ ক্ষেত্রের ওই বিন্দুতে আনতে $50\text{ J}$ (জুল) কাজ সম্পন্ন করতে হয়। অর্থাৎ, $V = \frac{W}{q}$ সূত্রানুসারে কাজ ও আধানের অনুপাত ৫০।

(গ) এর উত্তর:
দেওয়া আছে:

প্রথম আধান, $q_1 = 20 \mu\text{C} = 20 \times 10^{-6}\text{ C}$
দ্বিতীয় আধান, $q_2 = 80 \mu\text{C} = 80 \times 10^{-6}\text{ C}$
মধ্যবর্তী দূরত্ব, $r = 10\text{ cm} = 0.1\text{ m}$
কুলম্বের ধ্রুবক, $k = 9 \times 10^9\text{ Nm}^2\text{C}^{-2}$

সূত্র:
$$F = k \frac{q_1 q_2}{r^2}$$ হিসাব:
$$F = 9 \times 10^9 \times \frac{(20 \times 10^{-6}) \times (80 \times 10^{-6})}{(0.1)^2}$$ $$F = 1440\text{ N}$$ উত্তরঃ আধান দুটির মধ্যবর্তী বিকর্ষণ বলের মান $1440\text{ N}$।

(ঘ) এর উত্তর:
ধরি, $q_1$ আধান থেকে $x$ দূরত্বে তড়িৎ প্রাবল্য শূন্য হবে। যেহেতু উভয় আধানই ধনাত্মক, তাই শূন্য বিন্দুটি এদের মধ্যবর্তী কোনো স্থানে অবস্থিত হবে।
তাহলে, $q_2$ আধান থেকে ওই বিন্দুর দূরত্ব হবে $(0.1 - x)\text{ m}$।

শর্তমতে, ওই বিন্দুতে $E_1 = E_2$
$$k \frac{q_1}{x^2} = k \frac{q_2}{(0.1 - x)^2}$$ $$\frac{20 \times 10^{-6}}{x^2} = \frac{80 \times 10^{-6}}{(0.1 - x)^2}$$ $$\frac{1}{x^2} = \frac{4}{(0.1 - x)^2}$$ উভয় পক্ষকে বর্গমূল করে পাই:
$$\frac{1}{x} = \frac{2}{0.1 - x}$$ $$0.1 - x = 2x$$ $$3x = 0.1$$ $$x = \frac{0.1}{3} \approx 0.0333\text{ m} = 3.33\text{ cm}$$ বিশ্লেষণ: আধান দুটির সংযোগকারী রেখার $20 \mu\text{C}$ আধান থেকে $3.33\text{ cm}$ দূরত্বে তড়িৎ প্রাবল্য শূন্য হবে।

উপসংহার (Conclusion): পরিশেষে বলা যায়, স্থির তড়িৎ বিজ্ঞানের জটিল বিষয়গুলো বোঝার জন্য কুলম্বের সূত্র এবং তড়িৎ ক্ষেত্রের প্রাবল্যের ধারণা থাকা অপরিহার্য। এই মৌলিক সূত্রগুলো কেবল তাত্ত্বিক আলোচনার মধ্যেই সীমাবদ্ধ নয়, বরং আধুনিক ইলেকট্রনিক্স ও প্রযুক্তির অসংখ্য ক্ষেত্রে এদের প্রয়োগ রয়েছে। আশা করি, আজকের এই আলোচনা ও সৃজনশীল প্রশ্নগুলো আপনার প্রস্তুতিকে আরও মজবুত করবে। নিয়মিত অনুশীলনের মাধ্যমে গাণিতিক সমস্যাগুলো সমাধান করলে এই অধ্যায়ে পূর্ণ নম্বর পাওয়া সম্ভব। মনে রাখবেন, বিজ্ঞানে মুখস্থ করার চেয়ে মূল ভিত্তি বা বেসিক বোঝা অনেক বেশি কার্যকর।