মুক্তভাবে পড়ন্ত বস্তুর শক্তির নিত্যতা: গতিশক্তি ও বিভবশক্তির সমষ্টি বিশ্লেষণ
মুক্তভাবে পড়ন্ত বস্তুর শক্তির নিত্যতা: গতিশক্তি ও বিভবশক্তির সমষ্টি বিশ্লেষণের মাধ্যমে এই দুই শক্তির যোগফল যে সর্বদাই ধ্রুব থাকে, তা সহজেই বোঝা যায়। পদার্থবিজ্ঞানের এই গুরুত্বপূর্ণ সূত্র সম্পর্কে বিস্তারিত জানুন।
মুক্তভাবে পড়ন্ত বস্তুর ক্ষেত্রে শক্তির সংরক্ষণশীলতা নীতি
একটি মুক্তভাবে পতনশীল বস্তুর জন্য শক্তি সংরক্ষণের নীতিটি একটি মজার বিষয়!
যখন একটি বস্তু মুক্তভাবে মহাকর্ষের প্রভাবে পড়ে, তখন আমরা তার আচরণ জানার জন্য শক্তি সংরক্ষণের নীতি প্রয়োগ করতে পারি। এই নীতি অনুসারে, বস্তুর মোট যান্ত্রিক শক্তি তার গতি জুড়ে স্থির থাকে, যদি কোনও বাহ্যিক শক্তি এতে কাজ না করে।
একটি অবাধে পতনশীল বস্তুর যান্ত্রিক শক্তি দুটি উপাদান নিয়ে গঠিত: গতিশক্তি (KE) এবং বিভব শক্তি (PE)। বস্তুর পতনের সাথে সাথে এর বিভব শক্তি হ্রাস পায় এবং এর গতিশক্তি বৃদ্ধি পায়।
শক্তি সংরক্ষণশীলতা নীতি
শক্তির যে কোন রূপকে অন্য যে কোন এক বা একাধিক রূপে রূপান্তরিত করা যায়,
কিন্তু মোট শক্তির পরিমাণ একই থাকে। একে শক্তির
সংরক্ষণশীলতা নীতি বা শক্তির নিত্যতা সূত্র
বলা হয়। শক্তির সংরক্ষণশীলতা নীতিকে এভাবে বিবৃত করা যায়ঃ
শক্তির সৃষ্টি বা বিনাশ নেই, শক্তি কেবল একরূপ থেকে অপর এক বা একাধিকরূপে
রূপান্তরিত হতে পারে। মহাবিশ্বের মোট শক্তির পরিমাণ নির্দিষ্ট ও অপরিবর্তনীয়।
এই মহাবিশ্ব সৃষ্টির শুরুতে যে পরিমাণ শক্তি ছিল বর্তমানে সে পরিমাণ
শক্তি এখনও বিরাজ করছে।
মুক্তভাবে পড়ন্ত বস্তুর ক্ষেত্রে শক্তির সংরক্ষণশীলতা নীতি | Principle of Conservation of Energy for Freely Falling Body
|
| চিত্রঃ মুক্তভাবে পড়ন্ত বস্তু |
ধরা যাক, \(m\) ভরের কোনো বস্তুকে ভূমি থেকে অভিকর্ষের বিরুদ্ধে খাড়া \(h\) উচ্চতায় ওঠিয়ে \(A\) বিন্দুতে স্থির অবস্থায় রাখা হল। \(A\) অবস্থানে বস্তুটির সমস্ত শক্তিই বিভব শক্তি। এখন বস্তুটিকে যদি অভিকর্ষের প্রভাবে মুক্তভাবে পড়তে দেওয়া হয় তাহলে বস্তুটিতে গতির সঞ্চার হবে। অভিকর্ষের প্রভাবে বস্তুটি যত ভূমির দিকে পড়বে বস্তুটির বেগ তত বৃদ্ধি পাবে অর্থাৎ, বিভব শক্তি গতি শক্তিতে রূপান্তরিত হবে।
ধরা যাক,
A বিন্দুতে বস্তুর বিভব শক্তি = mgh
A বিন্দুতে বস্তুর গতি শক্তি = 0
\(\therefore\) \(A\) বিন্দুতে বস্তুর মোট শক্তি,
\( E = mgh + 0 = mgh\)
আবার ধরা যাক, বস্তুটি অভিকর্ষের প্রভাবে \(A\) বিন্দু থেকে \(x\) দূরত্ব পার হয়ে \(B\) বিন্দুতে পৌঁছল। \(B\) বিন্দুতে বস্তুর বিভব শক্তি ও গতি শক্তি উভয় থাকবে কারণ বস্তুটি ভূমি থেকে \((h- x)\) উচ্চতায় গতিশীল রয়েছে।
এখন, \(B\) বিন্দুতে বস্তুর বিভব শক্তি,
\( E_{P} = mg(h - x) = mgh - mgx\)
এবং B বিন্দুতে বস্তুর গতি শক্তি,
\(E_{K} = \frac{1}{2} mv^{2}\)
আবার পড়ন্ত বস্তুর ক্ষেত্রে,
\(v^{2} = u^{2} + 2gs\)
এখন বস্তুর প্রাথমিক বেগ, \(u = 0\) এবং অতিক্রান্ত দূরত্ব, \(s = x\)
\( \therefore v ^ {2} = 2gx\)
\( \therefore\) B বিন্দুতে গতিশক্তি ,
\( E_{K} = \frac{1}{2} mv ^ {2} = \frac{1}{2} m \times 2gx =mgx\) ।
সুতরাং, \(B\) বিন্দুতে বস্তুর মোট শক্তি, \(E = mgh - mgx + mgx = mhg\)
= \(A\) বিন্দুতে মোট শক্তি।
অনুরূপভাবে দেখানো যায় যে ভূমি স্পর্শ করার মুহূর্তে \(C\) বিন্দুতে মোট
শক্তি,
\(E = mgh\)
সুতরাং অভিকর্ষের প্রভাবে মুক্তভাবে পড়ন্ত বস্তুর ক্ষেত্রে সব সময় বিভব শক্তি ও
গতি শক্তির সমষ্টি সমান থাকে।
অর্থাৎ, পড়ন্ত বস্তু শক্তির সংরক্ষণশীলতা নীতি মেনে চলে।
বস্তু যত নিচে পড়তে থাকে তার বিভব শক্তি তত কমতে থাকে এবং গতি শক্তি বাড়তে
থাকে। ভূমি স্পর্শ করার পূর্ব মুহূর্তে সমস্ত বিভব শক্তিই গতি শক্তিতে
রূপান্তরিত হয়।
অর্থাৎ, ভূপৃষ্ঠ থেকে \(h\) উচ্চতায় অবস্থানকালে বস্তুটির বিভব শক্তি যত হয়
অভিকর্ষের প্রভাবে বস্তুটি মুক্তভাবে পড়লে ভূমি স্পর্শ করার মুহূর্তে তার গতি
শক্তি তত হয়।
বস্তুটি যখন ভূমিতে পড়ে এবং স্থির হয় তখন তার সমস্ত গতি শক্তি ও বিভব শক্তি লোপ
পায়। কিন্তু তা বলে শক্তি বিনষ্ট হয় না, বরং শব্দ, তাপ আলোক ইত্যাদি শক্তিতে
রূপান্তরিত হয়।
এই নীতির সাহায্যে আমরা মুক্তভাবে পতনশীল বস্তুগুলির গতি বিশ্লেষণ করতে এবং কীভাবে শক্তি স্থানান্তরিত হয় এবং তাদের গতিপথ জুড়ে রূপান্তরিত হয় তা বুঝতে পারি। এটি পদার্থবিদ্যার একটি মৌলিক ধারণা যা আমাদেরকে মহাকর্ষের প্রভাবে বস্তুর আচরণ বুঝতে সাহায্য করে।
সৃজনশীল প্রশ্ন ও সমাধান
সৃজনশীল প্রশ্ন
\(m = 10\,\text{kg}\) ভরের একটি বস্তু ভূমি থেকে \(h = 15\,\text{m}\) উচ্চতা \(A\) বিন্দুতে তোলা হলো এবং সেখান থেকে ছেড়ে দিলে তা উল্লম্বভাবে নেমে \(B\) বিন্দুতে আসে। বায়ুর প্রতিরোধ উপেক্ষা করা হয়েছে।
সৃজনশীল প্রশ্ন
- উদ্দীপকের কেন্দ্রীয় প্রধান উপাদান/ধারণা কী?
- প্রমাণ কর যে, \(E_k = \dfrac{p^2}{2m}\).
- \(B\) থেকে \(A\) তে বস্তুটি তুলতে কত ক্যালরি শক্তি প্রয়োজন?
- \(A \to B\) পতনে উচ্চতা অর্ধেক হলে \(\big(h'=\tfrac{h}{2}\big)\) গতিশক্তি ও বিভবশক্তির মান কী হবে?
সৃজনশীল প্রশ্নের সমাধান
১) কেন্দ্রীয় ধারণা
এখানে মূল ধারণা হলো শক্তির নিত্যতা (Conservation of Mechanical Energy)। বায়ুর প্রতিরোধ না থাকলে পতনের প্রতিটি মুহূর্তে মোট যান্ত্রিক শক্তি ধ্রুব:
\[ E_{\text{total}} = E_k + U = \tfrac{1}{2}mv^2 + mgh = \text{k} \]
২) \(E_k = \dfrac{p^2}{2m}\) প্রমাণ
ভরবেগ \(p = mv\)।
গতিশক্তি, \(E_k = \tfrac{1}{2}mv^2\)।
এখন \(v = \dfrac{p}{m}\) বসালে,
\[ E_k = \tfrac{1}{2}m\left(\dfrac{p}{m}\right)^2 \] \[= \tfrac{1}{2}m \cdot \dfrac{p^2}{m^2} = \dfrac{p^2}{2m}. \]
৩) \(B \to A\) তুলতে কত ক্যালরি শক্তি প্রয়োজন?
মাধ্যাকর্ষণ বিভবশক্তি \(U = mgh\)।
তাই প্রয়োজনীয় কাজ
\[ W = mgh \]
\[ = (10\,\text{kg})(9.8\,\text{m/s}^2)(15\,\text{m})\]
\[= 1470\,\text{J}. \]
জুল থেকে ক্যালরিতে:
\(1\,\text{cal} \approx 4.186\,\text{J}\).
\[ W_{\text{cal}} = \dfrac{1470}{4.186} \approx 351.3\,\text{cal} \quad\text{(means } \approx 0.351\,\text{kcal}\text{)}. \]
৪) উচ্চতা অর্ধেক হলে \(\big(h'=\tfrac{h}{2}\big)\)
নতুন উচ্চতা \(h'=\tfrac{15}{2}=7.5\,\text{m}\)।
শক্তির নিত্যতা অনুযায়ী \(A\) বিন্দুতে
\[ U_A' = mgh' \]
\[ = (10)(9.8)(7.5) \]
\[ = 735\,\text{J}, \quad E_{k,A} \]
\[=0. \]
\(B\) বিন্দুতে বিভবশক্তি শূন্য ধরা হলে, সবটাই গতিশক্তিতে রূপান্তরিত হয়:
\[ E_{k,B}' = mgh'\]
\[= 735\,\text{J}, \quad U_B'\]
\[= 0. \]
উপসংহার
বায়ুর প্রতিরোধ উপেক্ষা করলে মুক্তপতনে বিভবশক্তি ধারাবাহিকভাবে গতিশক্তিতে রূপ নেয় এবং তাদের সমষ্টি স্থির থাকে। তাই \(A \to B\) পথে \(mgh\) পরিমাণ শক্তি গতিশক্তি অর্জিত হয়, আর বিপরীতমুখে \(B \to A\) তুলতে ঠিক সেই \(mgh\) কাজ প্রয়োজন।
গুরুত্বপূর্ণ লিঙ্কসমুহঃ
উপসংহার
মুক্তভাবে পড়ন্ত বস্তুর ক্ষেত্রে শক্তির নিত্যতা একটি মৌলিক ও গুরুত্বপূর্ণ ধারণা, যা গতিশক্তি ও বিভবশক্তির পারস্পরিক রূপান্তরের মাধ্যমে প্রকাশ পায়। যখন একটি বস্তু উচ্চতা থেকে পতিত হয়, তখন তার বিভবশক্তি ধীরে ধীরে গতিশক্তিতে রূপান্তরিত হয়। পতনের প্রতিটি মুহূর্তে শক্তির এই রূপান্তর হলেও, তাদের সমষ্টি—মোট যান্ত্রিক শক্তি—নির্বিচারে স্থির থাকে (যদি বায়ুর প্রতিরোধ বা ঘর্ষণ উপেক্ষা করা হয়)। এই নিত্যতা প্রমাণ করে যে, প্রকৃতিতে শক্তি হারায় না, বরং এক রূপ থেকে অন্য রূপে পরিবর্তিত হয়।
