আর্কিমিডিসের নীতি ও প্লবতার গাণিতিক ব্যাখ্যা, সূত্র, ব্যবহারিক প্রয়োগ, এবং সৃজনশীল প্রশ্নোত্তরসহ বিস্তারিত আলোচনা। সহজ ভাষায় পদার্থবিজ্ঞানের গুরুত্বপূর্ণ অধ্যায়টি বোঝার জন্য এটি একটি পূর্ণাঙ্গ গাইড।
|
| চিত্রঃ আর্কিমিডিসের নীতি |
ভূমিকা
পানিতে ডুবে থাকা একটি বস্তু কেন হালকা মনে হয়? কিংবা কেন একটি বড় জাহাজ পানিতে ভেসে থাকে, অথচ একটি ছোট পাথর ডুবে যায়? এই প্রশ্নগুলোর উত্তর খুঁজতে গেলে আমাদের যেতে হবে প্রাচীন গ্রিসের একজন মহান বিজ্ঞানী — আর্কিমিডিসের কাছে। তাঁর আবিষ্কৃত নীতিটি বিজ্ঞানের ইতিহাসে একটি মাইলফলক, যা আজও পদার্থবিদ্যার গুরুত্বপূর্ণ অধ্যায় হিসেবে বিবেচিত।
🧪 আর্কিমিডিসের নীতির সংজ্ঞা
আর্কিমিডিসের নীতি বলে:
“যেকোনো তরলে নিমজ্জিত বস্তু তার স্থানচ্যুত তরলের ওজনের সমান একটি ঊর্ধ্বমুখী বল অনুভব করে।”
এই ঊর্ধ্বমুখী বলকে বলা হয় প্লবতা বল (Buoyant Force)। এটি বস্তুটিকে তরলের মধ্যে ভেসে থাকার সুযোগ করে দেয়।
📜 ইতিহাসের পেছনের গল্প
আর্কিমিডিসের নীতির আবিষ্কার একটি কিংবদন্তির সঙ্গে জড়িত। বলা হয়, সিরাকিউজের রাজা হিয়েরো একটি সোনার মুকুট তৈরি করান এবং সন্দেহ করেন যে মুকুটে অন্য ধাতু মেশানো হয়েছে। আর্কিমিডিসকে সত্যতা যাচাই করতে বলা হয়। একদিন তিনি গোসলের সময় দেখেন, তাঁর শরীর পানিতে ডুবলে কিছু পানি উপচে পড়ে। তখনই তাঁর মাথায় আসে, বস্তু পানিতে ডুবলে কতটা পানি সরে যায়, তা দিয়ে বস্তুটির আয়তন নির্ধারণ করা যায়। এই আবিষ্কারের আনন্দে তিনি “ইউরেকা! ইউরেকা!” বলে চিৎকার করে নগ্ন অবস্থায় রাস্তায় দৌড়ে যান — এমনটাই কিংবদন্তি।
🌊 প্লবতা বলের কার্যকারণ
প্লবতা বল সৃষ্টি হয় তরলের চাপের পার্থক্য থেকে। বস্তুটির নিচের দিকে তরলের চাপ বেশি এবং ওপরের দিকে কম। এই চাপের পার্থক্যই বস্তুটিকে ঊর্ধ্বমুখী বল দেয়।
প্লবতা বলের গাণিতিক প্রকাশ:
প্লবতা বল = স্থানচ্যুত তরলের আয়তন × তরলের ঘনত্ব × অভিকর্ষজ ত্বরণ
অথবা,
$$ F_b = V \cdot \rho \cdot g $$
যেখানে,
- \( F_b \) = প্লবতা বল
- \( V \) = স্থানচ্যুত তরলের আয়তন
- \( \rho \) = তরলের ঘনত্ব
- \( g \) = অভিকর্ষজ ত্বরণ
অপসারিত তরলের ওজন = বস্তুর ওজন
চিত্রটি অনুযায়ী আমরা একটি সিলিন্ডার আকৃতির বস্তু "A" কে একটি তরলে আংশিকভাবে নিমজ্জিত অবস্থায় দেখছি। এই অবস্থায় বস্তুটি স্থির রয়েছে, অর্থাৎ ভারসাম্যে আছে। এখন আমরা গাণিতিকভাবে প্রমাণ করব যে:
|
| চিত্রঃ স্থির তরলের মধ্যে নিমজ্জিত বস্তু |
📐 চিত্র বিশ্লেষণ
চিত্রে দেখা যাচ্ছে:
- বস্তুটির উচ্চতা: \( h2 - h1 \)
- নিমজ্জিত অংশের উচ্চতা: \( h \)
- তরলের ঘনত্ব: \( \rho \)
- অভিকর্ষজ ত্বরণ: \( g \)
🧮 ধাপে ধাপে প্রমাণ
① প্লবতা বলের সূত্র (Archimedes' Principle):
প্লবতা বল = অপসারিত তরলের ওজন
অর্থাৎ,
$$ F_b = \rho \cdot V_{\text{sub}} \cdot g $$
যেখানে \( V_{\text{sub}} \) = নিমজ্জিত অংশের আয়তন
যেহেতু বস্তুটি সিলিন্ডার,
$$ V_{\text{sub}} = A \cdot h $$ (A = সিলিন্ডারের ভিত্তির ক্ষেত্রফল)
তাহলে,
$$ F_b = \rho \cdot A \cdot h \cdot g $$
② বস্তুটির ওজন:
বস্তুটির মোট আয়তন = \( A \cdot (h2 - h1) \)
বস্তুটির ঘনত্ব = \( \rho_{\text{object}} \)
তাহলে,
$$ W = \rho_{\text{object}} \cdot A \cdot (h2 - h_1) \cdot g $$
③ ভারসাম্য অবস্থায়:
বস্তুটি স্থির, অর্থাৎ
প্লবতা বল = বস্তুটির ওজন
তাহলে,
$$ \rho \cdot A \cdot h \cdot g = \rho_{\text{object}} \cdot A \cdot (h2 -
h_1) \cdot g $$
উভয় পাশে \( A \cdot g \) আছে, বাদ দিলে:
$$ \rho \cdot h = \rho_{\text{object}} \cdot (h2 - h_1) $$④ অপসারিত তরলের ওজন:
$$ W_{\text{fluid}} = \rho \cdot A \cdot h \cdot g $$⑤ বস্তুটির ওজন:
$$ W_{\text{object}} = \rho_{\text{object}} \cdot A \cdot (h2 - h1) \cdot g $$উপরের সমীকরণ \( \rho \cdot h = \rho_{\text{object}} \cdot (h2 - h_1) \) থেকে, আমরা \( W_{\text{fluid}} \) এবং \( W_{\text{object}} \) এর সমীকরণদ্বয়ে \( \rho \cdot h \) এবং \( \rho_{\text{object}} \cdot (h2 - h1) \) এর মানকে সমান দেখতে পারি।
সুতরাং, আমরা লিখতে পারি:
$$ \rho \cdot A \cdot h \cdot g = \rho_{\text{object}} \cdot A \cdot (h2 - h1) \cdot g $$অর্থাৎ,
$$ W_{\text{fluid}} = W_{\text{object}} $$✅ প্রমাণিত!
⚖️ ভেসে থাকা না ডুবে যাওয়া: কী নির্ধারণ করে?
একটি বস্তু ভেসে থাকবে না ডুবে যাবে, তা নির্ভর করে বস্তুটির ওজন এবং প্লবতা বলের তুলনায়।
- যদি বস্তুটির ওজন \( \lt \) প্লবতা বল → বস্তুটি ভেসে থাকবে
- যদি বস্তুটির ওজন = প্লবতা বল → বস্তুটি তরলে স্থির থাকবে
- যদি বস্তুটির ওজন \( \gt \) প্লবতা বল → বস্তুটি ডুবে যাবে
🛳️ বাস্তব জীবনে প্রয়োগ
আর্কিমিডিসের নীতি শুধু পাঠ্যবইয়ের বিষয় নয়, এটি বাস্তব জীবনে বহুল ব্যবহৃত:
- জাহাজ নির্মাণে: জাহাজের আকৃতি এমনভাবে তৈরি করা হয় যাতে এটি পর্যাপ্ত পানি স্থানচ্যুত করে এবং ভেসে থাকতে পারে।
- সাবমেরিনে: পানির নিচে চলাচলের জন্য প্লবতা নিয়ন্ত্রণ করা হয়।
- হাইড্রোমিটার: তরলের ঘনত্ব পরিমাপ করতে ব্যবহৃত হয়, যা প্লবতা নীতির উপর ভিত্তি করে কাজ করে।
- সোনার বিশুদ্ধতা যাচাই: ঠিক যেমন আর্কিমিডিস করেছিলেন।
🧠 গাণিতিক সমস্যা ও সমাধান
- একটি 500 cm³ আয়তনের বস্তু পানিতে সম্পূর্ণ ডুবানো হলে কত প্লবতা বল অনুভব করবে? (পানির ঘনত্ব = 1000 kg/m³)
- একটি বস্তু যদি তেলের মধ্যে ভেসে থাকে, তবে তার ঘনত্ব কি তেলের চেয়ে বেশি না কম?
🧪 প্রশ্ন ১:
একটি 500 cm³ আয়তনের বস্তু পানিতে সম্পূর্ণ ডুবানো হলে কত প্লবতা বল অনুভব করবে?
(পানির ঘনত্ব = 1000 kg/m³)
✅ ধাপ ১: একক রূপান্তর
\( 500 \, cm³ = \frac{500}{1000000} \, m³ = 0.0005 \, m³\)
✅ ধাপ ২: প্লবতা বলের সূত্র
প্লবতা বল = অপসারিত তরলের ওজন
অর্থাৎ,
$$ F_b = \rho \cdot V \cdot g $$
যেখানে,
- $$ \rho = 1000 \, \text{kg/m}^3 $$
- $$ V = 0.0005 \, \text{m}^3 $$
- $$ g = 9.8 \, \text{m/s}^2 $$
✅ ধাপ ৩: মান বসানো
$$ F_b = 1000 \cdot 0.0005 \cdot 9.8 = 4.9 \, \text{N} $$
🔍 উত্তর:
প্লবতা বল = 4.9 নিউটন
🧪 প্রশ্ন ২:
একটি বস্তু যদি তেলের মধ্যে ভেসে থাকে, তবে তার ঘনত্ব কি তেলের চেয়ে বেশি না কম?
✅ বিশ্লেষণ:
বস্তু যদি ভেসে থাকে, তাহলে তার ওজন < প্লবতা বল
অর্থাৎ, বস্তুটি যত তরল স্থানচ্যুত করেছে, সেই তরলের ওজন বস্তুটির ওজনের চেয়ে বেশি।
প্লবতা বল নির্ভর করে তরলের ঘনত্বের উপর। বস্তু যদি ভেসে থাকে, তাহলে তার ঘনত্ব তরলের ঘনত্বের চেয়ে কম হতে হবে।
🔍 উত্তর:
বস্তুর ঘনত্ব \( \lt \) তেলের ঘনত্ব
সৃজনশীল প্রশ্ন ও সমাধান
উদ্দীপক চিত্রটি লক্ষ কর এবং প্রশ্নগুলোর উত্তর দাও :
|
| চিত্রঃ উদ্দীপক |
পানিতে একটি বস্তু A নিমজ্জিত অবস্থায় আছে। বস্তুর উচ্চতা 8 cm এবং বস্তুর উপরিতল থেকে পানির উচ্চতা 3cm
সৃজনশীল প্রশ্নের উত্তর
ক. পীড়ন কাকে বলে?
খ. বস্তু কখন তরলে ভাসে? ব্যাখ্যা কর।
গ. বস্তুটির ঊর্ধ্ব ও নিম্নতলে পানি কী পরিমাণ চাপ প্রয়োগ করবে তা নির্ণয় কর।
ঘ. উদ্দীপকে ব্যবহৃত বস্তুটি পানিতে ভাসবে না ডুববে তা গাণিতিকভাবে বিশ্লেষণ করে মতামত দাও।
পদার্থবিজ্ঞান প্রশ্নোত্তর
ক. পীড়ন কাকে বলে?
উত্তর: বাহ্যিক বলের প্রভাবে বস্তুর মধ্যে বিকৃতি ঘটলে বস্তু তার স্থিতিস্থাপকতার জন্য বিকৃতির বিপরীত দিকে একটি প্রতিরোধকারী বল সৃষ্টি করে। এই প্রতিরোধকারী বল প্রতি একক ক্ষেত্রফলে যে পরিমাণ প্রযুক্ত হয়, তাকে পীড়ন বলে।
গাণিতিকভাবে, পীড়ন (\(\sigma\)) হলো:
\[ \sigma = \frac{F}{A} \]এর একক হলো নিউটন প্রতি বর্গমিটার \(\text{N/m}^2\) বা প্যাসকেল \(\text{Pa}\)।
খ. বস্তু কখন তরলে ভাসে? ব্যাখ্যা-
উত্তর: একটি বস্তু তরলে তখনই ভাসে যখন বস্তুর ওজনের সমান বা তার চেয়ে বেশি পরিমাণে প্লবতা বা ঊর্ধ্বমুখী বল বস্তুটির উপর প্রযুক্ত হয়। এটি আর্কিমিডিসের নীতি দ্বারা ব্যাখ্যা করা যায়।
১. প্লবতা (ঊর্ধ্বমুখী বল):
যখন কোনো বস্তুকে তরলে নিমজ্জিত করা হয়, তখন তরল বস্তুর উপর একটি ঊর্ধ্বমুখী বল প্রয়োগ করে, যাকে প্লবতা \(F_B\) বলে। এই প্লবতা বল অপসারিত তরলের ওজনের সমান।
২. ভাসার শর্ত:
- \(\text{F}_B \gt \text{W}\) (প্লবতা \( \gt \) বস্তুর ওজন): বস্তুটি তরলের উপরিভাগে ভেসে উঠবে।
- \(\text{F}_B = \text{W}\) (প্লবতা = বস্তুর ওজন): বস্তুটি তরলের মধ্যে যে কোনো স্থানে সমভার অবস্থায় (ভাসমান) থাকবে।
- \(\text{F}_B \lt \text{W}\) (প্লবতা \(\lt\) বস্তুর ওজন): বস্তুটি তরলে ডুবে যাবে।
৩. ঘনত্বের ভিত্তিতে ব্যাখ্যা:
বস্তুর ঘনত্ব \(\rho_{\text{object}}\) এবং তরলের ঘনত্ব \(\rho_{\text{w}}\) হলে:
- \(\rho_{\text{object}} \lt \rho_{\text{w}}\) হলে, বস্তুটি ভাসে।
- \(\rho_{\text{object}} = \rho_{\text{w}}\) হলে, বস্তুটি তরলের মধ্যে নিমজ্জিত অবস্থায় ভেসে থাকে।
- \(\rho_{\text{object}} \gt \rho_{\text{w}}\) হলে, বস্তুটি ডুবে যায়।
গ. বস্তুটির ঊর্ধ্ব ও নিম্নতলে পানি কী পরিমাণ চাপ প্রয়োগ করে-
উত্তর:উদ্দীপক থেকে পাই,
পানির পৃষ্ঠতল হতে ব্লকের উপরের উচ্চতা, \(h_1 = 8 \text{ cm} = 8 \times 10^{-2} \text{ m}\)
পানির পৃষ্ঠতল হতে ব্লকের নিম্নতলের উচ্চতা, \(h_2 = (8 + 3) \text{ cm} = 11 \times 10^{-2} \text{ m}\)
পানির ঘনত্ব, \(\rho = 1000 \text{ kgm}^{-3}\)
অভিকর্ষজ ত্বরণ, \(g = 9.8 \text{ ms}^{-2}\)
\(\therefore \) ব্লকের উপরেরতলে চাপ, \( P_1 = h_1\rho g\)
$$P_1 = 8 \times 10^{-2} \text{ m} \times 1000 \text{ kgm}^{-3} \times 9.8 \text{ ms}^{-2}$$
$$ = 784 \text{ Pa}$$
এবং ব্লকের নিম্নতলে চাপ, \(P_2 = h_2\rho g\)
$$P_2 = 11 \times 10^{-2} \text{ m} \times 1000 \text{ kgm}^{-3} \times 9.8 \text{ ms}^{-2}$$
$$= 1078 \text{ Pa}$$
অতএব, ব্লকের উপরের ও নিম্নতলের পানির চাপ যথাক্রমে \(784 \text{ Pa}\) ও \(1078 \text{ Pa}\)।
ঘ. উদ্দীপকে ব্যবহৃত বস্তুটি পানিতে ভাসবে না ডুববে তা গাণিতিকভাবে বিশ্লেষণ-
উত্তর: এখন, ব্লকের পৃষ্ঠতলের ক্ষেত্রফল, \(A = 36 \text{ cm}^2\)
\(= 36 \times 10^{-4} \text{ m}^2\)
এখন, ব্লকের উপরের ও নিম্নতলে পানি কর্তৃক প্রয়ুক্ত বলের মান যথাক্রমে, \(F_1\) ও \(F_2\) হলে,
$$\text{F}_1 = A h_1\rho g$$
$$F_1 = 36 \times 10^{-4} \text{ m}^2 \times 8 \times 10^{-2} \text{ m} \times 1000 \text{ kgm}^{-3} \times 9.8 \text{ ms}^{-2}$$
$$= 2.82 \text{ N}$$
আবার, \(F_2 = A h_2\rho g\)
\(F_2 = 36 \times 10^{-4} \text{ m}^2 \times 11 \times 10^{-2} \text{ m}\times 1000 \text{ kgm}^{-3} \times 9.8 \text{ ms}^{-2}\)
\(= 3.88 \text{ N}\)
এখানে, \(F_1 \lt F_2\)
উপরিউক্ত গাণিতিক বিশ্লেষণ থেকে দেখা যায়, বস্তুর উপর নিম্নমুখী বল, ঊর্ধ্বমুখী বল অপেক্ষা কম। অতএব, বস্তুটি ভাসবে।
📘 ইন্টারঅ্যাকটিভ কুইজ ব্লক
🔍 উপসংহার
আর্কিমিডিসের নীতি আমাদের শেখায়, বিজ্ঞানের গভীরতা শুধু সূত্রে নয়, বাস্তব জীবনের সমস্যার সমাধানে। প্লবতা বলের ধারণা আমাদের চারপাশের জগৎকে বুঝতে সাহায্য করে — পানিতে ভেসে থাকা, তরলের ঘনত্ব, এবং বস্তুর গঠন কেমন হলে তা ডুবে যাবে বা ভেসে থাকবে। এই নীতির মাধ্যমে আমরা বুঝতে পারি, বিজ্ঞানের সৌন্দর্য তার সরলতায়।
মন্তব্যসমূহ
একটি মন্তব্য পোস্ট করুন