প্রক্ষেপক বা প্রাসের গতিপথ: প্যারাবোলিক আকার ও বৈশিষ্ট্য

"তির্যকভাবে বাধাহীন পথে উপর দিকে নিক্ষিপ্ত বস্তুর বা প্রাসের গতিপথের সমীকরণ প্রতিপাদন"

প্রক্ষেপণ বিজ্ঞানের একটি গুরুত্বপূর্ণ শাখা, যেখানে কোনও বস্তুকে বাতাসে নিক্ষেপ করলে তার গতিপথ অধ্যয়ন করা হয়। প্রাস বা প্রক্ষেপকের গতিপথ সাধারণত একে একটি প্যারাবোলা আকারে দেখা যায়। এই গতিপথ তখনই প্যারাবোলিক আকার ধারণ করে যখন বস্তুর উপরে কেবলমাত্র মাধ্যাকর্ষণ বল কাজ করে এবং বাতাসের প্রতিরোধ উপেক্ষা করা হয়। নিউটনের গতিসূত্র এবং ত্বরণ সূত্রের ভিত্তিতে এই প্রক্ষেপণ গতির গাণিতিক বিশ্লেষণ করা যায়। বাস্তব জীবনে আমরা প্রক্ষেপকের এই প্যারাবোলিক গতিপথ দেখতে পাই যেমন ফুটবল নিক্ষেপ, তীর ধনুকের নিক্ষেপ, এবং টেনিস বলের খেলার সময়।

বিষয়বস্তু

• প্রক্ষেপক বা প্রাসের গতিপথ,
• অনুভূমিক গতি,
• উল্লম্ব গতি,
• অবস্থান নির্ণয়,
• গতিপথের সমীকরণ,
• আদিবেগ,
• সর্বোচ্চ উচ্চতা,
• অনুভূমিক পাল্লা,
• বিচরণকাল,
• বেগ ও সরণ

প্রক্ষেপক বা প্রাসের গতিপথ

প্রক্ষেপক বা প্রাসের গতিপথ বলতে বোঝায় কোনো বস্তুকে নির্দিষ্ট কোণ ও বেগে ভূমি থেকে উপরে নিক্ষেপ করলে তা যে পথ অতিক্রম করে। এই গতিপথ একটি বক্ররেখা আকারে হয়, যা আসলে একটি প্যারাবোলা। প্রক্ষেপণের সময় বস্তুর উপর দুটি প্রধান বল কাজ করে: মাধ্যাকর্ষণ এবং প্রাথমিক গতির ফলে সৃষ্ট অনুভূমিক গতি। এর ফলে বস্তুর গতিপথটি প্যারাবোলিক আকার ধারণ করে।

প্রথমে, আমরা ধরে নিই যে কোনো বস্তুকে অনুভূমিকের সাথে θ কোণে \( v_0 \) আদিবেগে নিক্ষেপ করা হয়েছে। এই ক্ষেত্রে, বস্তুর গতি দুটি উপাংশে বিভক্ত করা যায়: অনুভূমিক (x-অক্ষ বরাবর) এবং উল্লম্ব (y-অক্ষ বরাবর)।

অনুভূমিক গতি

অনুভূমিক দিকে কোনো ত্বরণ নেই, তাই বস্তুর অনুভূমিক বেগ \( v_x \) হবে ধ্রুবক এবং এটি হবে: \[ v_x = v_0 \cos \theta \]

উল্লম্ব গতি

উল্লম্ব দিকে বস্তুর উপর অভিকর্ষজ ত্বরণ \( g \) কাজ করে। তাই উল্লম্ব বেগ \( v_y \) সময়ের সাথে পরিবর্তিত হয়: \[ v_y = v_0 \sin \theta - gt \]

অবস্থান নির্ণয়

কোনো সময় \( t \) তে বস্তুর অনুভূমিক অবস্থান \( x \) এবং উল্লম্ব অবস্থান \( y \) হবে: \[ x = v_0 \cos \theta \cdot t \] \[ y = v_0 \sin \theta \cdot t - \frac{1}{2}gt^2 \]

গতিপথের সমীকরণ

উল্লম্ব অবস্থান \( y \) এবং অনুভূমিক অবস্থান \( x \) এর মধ্যে সম্পর্ক স্থাপন করতে \( t \) এর মান \( x \) এর সমীকরণ থেকে নির্ণয় করে \( y \) এর সমীকরণে বসানো হয়: \[ t = \frac{x}{v_0 \cos \theta} \] এটি \( y \) এর সমীকরণে বসালে পাই: \[ y = v_0 \sin \theta \cdot \frac{x}{v_0 \cos \theta} - \frac{1}{2}g \left( \frac{x}{v_0 \cos \theta} \right)^2 \] সরলীকরণ করলে পাই: \[ y = x \tan \theta - \frac{gx^2}{2v_0^2 \cos^2 \theta} \]

এই সমীকরণটি একটি পরাবৃত্তের (parabola) সমীকরণ, যা প্রাসের গতিপথ নির্দেশ করে।

প্রাসের গতির মূল রাশিগুলো

আদিবেগ

প্রাসের গতি শুরু হয় একটি নির্দিষ্ট আদিবেগ দিয়ে, যা \( v_0 \) দ্বারা প্রকাশিত হয়। এটি দুটি উপাংশে বিভক্ত: অনুভূমিক উপাংশ (\( v_{0x} \)) এবং উলম্ব উপাংশ (\( v_{0y} \))।

সর্বোচ্চ উচ্চতা

প্রাসের সর্বোচ্চ উচ্চতা নির্ণয়ের জন্য আমরা উল্লম্ব উপাংশের বেগকে বিবেচনা করি। যখন বস্তুর উল্লম্ব বেগ শূন্য হয়ে যায়, তখন সেটি সর্বোচ্চ উচ্চতায় পৌঁছে যায়। এই অবস্থায়, উল্লম্ব বেগের সমীকরণটি হবে: $$ v_y = v_0 \sin \theta - gt $$ যেখানে, \(v_y\) হলো উল্লম্ব বেগ এবং \(t\) হলো সময়। সর্বোচ্চ উচ্চতায়, \(v_y = 0\), তাই: $$ 0 = v_0 \sin \theta - gt $$ এখান থেকে, সময় \(t\) নির্ণয় করা যায়: $$ t = \frac{v_0 \sin \theta}{g} $$ এখন, এই সময়টি ব্যবহার করে আমরা সর্বোচ্চ উচ্চতা নির্ণয় করতে পারি: $$ H = v_0 \sin \theta \cdot t - \frac{1}{2}gt^2 $$ উপরের সমীকরণে \(t\) এর মান বসিয়ে দিলে পাই: $$ H = v_0 \sin \theta \cdot \frac{v_0 \sin \theta}{g} - \frac{1}{2}g \left( \frac{v_0 \sin \theta}{g} \right)^2 $$ সরলীকরণ করলে পাই: $$ H = \frac{v_0^2 \sin^2 \theta}{2g} $$

এইভাবে আমরা প্রাসের সর্বোচ্চ উচ্চতা নির্ণয় করতে পারি।

অনুভূমিক পাল্লা

অনুভূমিক পাল্লা নির্ণয়ের সমীকরণ (Equation for Calculating Horizontal Range) পদার্থবিজ্ঞানের একটি গুরুত্বপূর্ণ বিষয়। এটি প্রক্ষেপণ গতির (Projectile Motion) একটি অংশ।

প্রক্ষেপণ গতিতে, একটি বস্তুকে একটি নির্দিষ্ট কোণে এবং বেগে নিক্ষেপ করা হয়। এই বস্তুর গতিপথ একটি প্যারাবোলা আকৃতির হয়। অনুভূমিক পাল্লা (Range) হল প্রক্ষেপণ বিন্দু থেকে অনুভূমিকভাবে বস্তুর সর্বাধিক দূরত্ব।

ধরি, একটি বস্তুকে \(v_0\) আদিবেগে \(\theta\) কোণে অনুভূমিকভাবে নিক্ষেপ করা হলো।

অনুভূমিক পাল্লা নির্ণয়ের সমীকরণটি হল: $$ R = \frac{v_0^2 \sin 2\theta}{g} $$

এখানে,

\(R\) = অনুভূমিক পাল্লা
\(v_0\) = আদিবেগ
\(\theta\) = প্রক্ষেপণ কোণ
\(g\) = অভিকর্ষজ ত্বরণ (প্রায় ৯.৮ মি/সেকেন্ড²)

এই সমীকরণটি থেকে বোঝা যায় যে, অনুভূমিক পাল্লা নির্ভর করে আদিবেগ, প্রক্ষেপণ কোণ এবং অভিকর্ষজ ত্বরণের উপর।

একটি গুরুত্বপূর্ণ বিষয় হল, \(\theta = 45^\circ\) কোণে নিক্ষেপ করলে অনুভূমিক পাল্লা সর্বাধিক হয়। অর্থাৎ, \(\theta = 45^\circ\) হলে, \(\sin 2\theta = \sin 90^\circ = 1\), ফলে \(R = \frac{v_0^2}{g}\)।

এই সমীকরণটি প্রক্ষেপণ গতির বিভিন্ন সমস্যার সমাধানে ব্যবহৃত হয় এবং এটি পদার্থবিজ্ঞানের একটি মৌলিক ধারণা।

বিচরণকাল

প্রাসের বিচরণকাল নির্ণয়ের সমীকরণ প্রতিপাদন করতে হলে আমাদের প্রথমে প্রক্ষেপণ গতির মূল ধারণাগুলো বুঝতে হবে। প্রক্ষেপণ গতি হলো এমন একটি গতি যেখানে কোনো বস্তু একটি নির্দিষ্ট কোণে এবং প্রাথমিক বেগে নিক্ষিপ্ত হয় এবং মাধ্যাকর্ষণ শক্তির প্রভাবে একটি বক্রপথে চলে।

প্রাসের বিচরণকাল নির্ণয়ের জন্য আমরা নিচের ধাপগুলো অনুসরণ করব:

1. প্রাথমিক বেগের উপাংশ নির্ণয়:

প্রাথমিক বেগ \( v_0 \) কে দুটি উপাংশে ভাগ করা যায়: অনুভূমিক উপাংশ \( v_{0x} = v_0 \cos \theta \) এবং উল্লম্ব উপাংশ \( v_{0y} = v_0 \sin \theta \), যেখানে \( \theta \) হলো প্রক্ষেপণের কোণ।

2. উল্লম্ব গতির সমীকরণ:

উল্লম্ব গতির ক্ষেত্রে, প্রাসের সর্বাধিক উচ্চতায় পৌঁছানোর সময় উল্লম্ব বেগ শূন্য হয়ে যায়। তাই, \( v_y = v_{0y} - gt \), যেখানে \( g \) হলো মাধ্যাকর্ষণ ত্বরণ এবং \( t \) হলো সময়।

সর্বাধিক উচ্চতায় পৌঁছানোর সময় \( t = \frac{v_{0y}}{g} \)।

3. বিচরণকাল নির্ণয়:

প্রাসের উড্ডয়নকাল এবং পতনকাল সমান হয়। তাই, মোট বিচরণকাল \( T = 2 \times \frac{v_{0y}}{g} = \frac{2v_0 \sin \theta}{g} \)।

এভাবে, প্রাসের বিচরণকাল নির্ণয়ের সমীকরণ হলো: \[ T = \frac{2v_0 \sin \theta}{g} \]

এই সমীকরণটি প্রাসের প্রাথমিক বেগ, প্রক্ষেপণের কোণ এবং মাধ্যাকর্ষণ ত্বরণের উপর নির্ভর করে।

বেগ ও সরণ

প্রাস প্রক্ষেপণে, একটি বস্তুকে অনুভূমিকের সাথে একটি কোণে নিক্ষেপ করা হলে, তার গতি দুটি উপাংশে বিভক্ত হয়:

1. আনুভূমিক উপাংশ (Horizontal Component): এই উপাংশে বস্তুর বেগ স্থির থাকে, কারণ এখানে কোনো বাহ্যিক ত্বরণ কাজ করে না।

2. উল্লম্ব উপাংশ (Vertical Component): এই উপাংশে বস্তুর বেগ অভিকর্ষজ ত্বরণের কারণে পরিবর্তিত হয়।

বেগ নির্ণয়

ধরা যাক, একটি বস্তুকে \(v_0\) বেগে অনুভূমিকের সাথে \(\theta\) কোণে নিক্ষেপ করা হয়েছে। তাহলে, বস্তুর আদি বেগের অনুভূমিক ও উল্লম্ব উপাংশ হবে:

অনুভূমিক বেগ, $$v_{x0} = v_0 \cos \theta$$ উল্লম্ব বেগ, $$v_{y0} = v_0 \sin \theta$$

কোনো নির্দিষ্ট সময় \(t\) পরে, বস্তুর উল্লম্ব বেগ হবে: $$v_y = v_{y0} - gt = v_0 \sin \theta - gt$$ এবং অনুভূমিক বেগ থাকবে অপরিবর্তিত: $$v_x = v_{x0} = v_0 \cos \theta$$

সরণ নির্ণয়

কোনো নির্দিষ্ট সময় \(t\) পরে, বস্তুর অনুভূমিক ও উল্লম্ব সরণ হবে:

অনুভূমিক সরণ, $$x = v_{x0} t = v_0 \cos \theta \cdot t$$ উল্লম্ব সরণ, $$y = v_{y0} t - \frac{1}{2} gt^2 = v_0 \sin \theta \cdot t - \frac{1}{2} gt^2$$

গাণিতিক উদাহরণ

ধরা যাক, একটি বস্তুকে \(20 \, \text{m/s}\) বেগে অনুভূমিকের সাথে \(30^\circ\) কোণে নিক্ষেপ করা হয়েছে। তাহলে, বস্তুর আদি বেগের অনুভূমিক ও উল্লম্ব উপাংশ হবে: $$v_{x0} = 20 \cos 30^\circ = 20 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 10\sqrt{3} \, \text{m/s}$$ $$v_{y0} = 20 \sin 30^\circ = 20 \times \frac{1}{2} = 10 \, \text{m/s}$$

কোনো নির্দিষ্ট সময় \(t\) পরে, বস্তুর অনুভূমিক ও উল্লম্ব সরণ নির্ণয় করতে উপরের সূত্রগুলো ব্যবহার করা যাবে।

এইভাবে, প্রাস প্রক্ষেপণের ক্ষেত্রে বেগ ও সরণ নির্ণয় করা হয়। এটি পদার্থবিজ্ঞানের একটি মৌলিক এবং গুরুত্বপূর্ণ বিষয়, যা বিভিন্ন বাস্তব জীবনের সমস্যার সমাধানে ব্যবহৃত হয়।

উপসংহার

প্রক্ষেপক বা প্রাসের গতিপথের গাণিতিক ও তাত্ত্বিক বিশ্লেষণ আমাদের বুঝতে সহায়তা করে কিভাবে অনুভূমিক ও উল্লম্ব গতি একসঙ্গে কাজ করে। আদিবেগ, সর্বোচ্চ উচ্চতা, অনুভূমিক পাল্লা এবং বিচরণকাল নির্ধারণের মাধ্যমে আমরা প্রক্ষেপকের পূর্ণ গতিপথ এবং তার গতির গতি প্রকৃতি সম্পর্কে একটি সুস্পষ্ট ধারণা পাই।