Table of Contexts
- টানা তারে কম্পন
- টানা তারের কম্পনের মৌলিক ধারণা
- তারের আড় স্থির তরঙ্গ
- স্থায়ী তরঙ্গ (Standing Wave)
- স্থায়ী তরঙ্গের গুণিতক বা হারমোনিক
- টানা তারের সাথে সংশ্লিষ্ট সূত্র
- টানা তারে আড় বা অনুপ্রস্থ তরঙ্গের বেগের রাশিমালা
- টানা তারে আড় তরঙ্গের ক্ষেত্রে তরঙ্গের কম্পাঙ্কের রাশিমালা
- টানা তারে আড় কম্পনের সূত্রাবলি (Laws of transverse vibration of a stretched string)
- গাণিতিক সমস্যা ও সমাধান
ভূমিকাঃ টানা তারের কম্পন একটি গুরুত্বপূর্ণ পদার্থবিজ্ঞানের বিষয়। এটি বিভিন্ন প্রকারের তরঙ্গ এবং তাদের বৈশিষ্ট্য নিয়ে আলোচনা করে। এখানে আমি টানা তারের কম্পন নিয়ে একটি বিস্তারিত আর্টিকেল লিখছি, যা বর্ণনা, ব্যাখ্যা, সূত্র প্রতিপাদন এবং টানা তারের সূত্রসমূহ অন্তর্ভুক্ত করবে।
টানা তারে কম্পন
টানা তারে কম্পন বলতে বোঝায় একটি টানযুক্ত তারে বিভিন্ন কম্পাঙ্কে (frequency) স্থায়ী তরঙ্গ (standing wave) তৈরি হওয়া। এটি সঠিক সীমান্ত শর্ত (boundary conditions) মেনে চলে এবং বিভিন্ন গুণিতক (harmonic) বা মোডে কম্পিত হতে পারে।
টানা তারের কম্পনের মৌলিক ধারণা
শব্দবিজ্ঞানে তারের কম্পন বলতে একটি সুষম, নমনীয় ও সরু তারের কম্পন বুঝায়। এই ধরনের একটি তারে আড় অথবা সম্বিক তরঙ্গ উৎপন্ন করা যায়। একটি টানা তারের দুই প্রান্ত দৃঢ়ভাবে আবদ্ধ করে দৈর্ঘ্যের সমকোণে টেনে ছেড়ে দিলে অথবা দৈর্ঘ্যের আড়াআড়ি আঘাত করলে তারে আড় কম্পন সৃষ্টি হবে। আবার, তারের দৈর্ঘ্য বরাবর ফ্লানেল অথবা রজনমাখা কাপড় দ্বারা ঘর্ষণ করলে তারে লম্বিক তরঙ্গ সৃষ্টি হবে।
তারের আড় স্থির তরঙ্গ
একটি টানা তারে আড় কম্পন সৃষ্টি করলে ঐ কম্পন তারের দুই প্রান্তের দিকে একটি নির্দিষ্ট বেগে প্রবাহিত হয় এবং উভয় প্রান্ত হতে প্রতিফলিত হয়ে ফিরে আসে। তারে সৃষ্ট নতুন তরঙ্গ এবং প্রান্ত হতে প্রতিফলিত হয়ে ফিরে আসা তরঙ্গ মিলে তারে আড় স্থির তরঙ্গ সৃষ্টি করে যা তারের মধ্যেই সীমাবদ্ধ থাকে।
বিভিন্ন বাদ্যযন্ত্রে তারের এই ধরনের কম্পন কাজে লাগান হয়। সেতার, এস্রাজ, গীটার, পিয়ানো ইত্যাদি বাদ্যযন্ত্রে তারের কম্পন কাজে লাগিয়ে শ্রুতিমধুর শব্দ উৎপন্ন করা হয়।
টানযুক্ত তারের কম্পনে, তারের দুই প্রান্ত সাধারণত স্থির থাকে (যেমন, দুটি বস্তুর সঙ্গে বাঁধা)। তাই, তারের দুই প্রান্তে সরণ \( y = 0\) থাকে। এর ফলে, সঠিক কম্পাঙ্কে স্থায়ী তরঙ্গ তৈরি হয়।
স্থায়ী তরঙ্গ
স্থায়ী তরঙ্গ (Standing Wave) যান্ত্রিক তরঙ্গ এর অন্তর্ভুক্ত। এটি এমন একটি তরঙ্গ যা দুটি বিপরীত দিক থেকে সংঘর্ষ করে এবং একে অপরের সাথে মিলিত হয়ে স্থির তরঙ্গ তৈরি করে।
স্থায়ী তরঙ্গের মধ্যে কিছু নির্দিষ্ট স্থানে (নোড) তরঙ্গের কম্পন থাকে না, এবং অন্য কিছু স্থানে (অ্যান্টিনোড) কম্পন সর্বাধিক হয়।
এ ধরনের তরঙ্গ সাধারণত আড় তরঙ্গ (Transverse Waves) অথবা লম্বিক তরঙ্গ (Longitudinal Waves) উভয়েরই হতে পারে, তবে আড় তরঙ্গেই স্থায়ী তরঙ্গ বেশি দেখা যায়, যেমন সেতারের তারে স্থায়ী তরঙ্গ সৃষ্টি হওয়া।
স্থায়ী তরঙ্গের গুণিতক বা হারমোনিক
টানা তারে স্থায়ী তরঙ্গ গঠনের জন্য তরঙ্গদৈর্ঘ্য (\(\lambda \))-এর নির্দিষ্ট মান হতে হবে। এটি নির্ভর করে তারের দৈর্ঘ্য (\( L \))-এর উপর।
টানা তারের সাথে সংশ্লিষ্ট সূত্র:
\[ L = \frac{n\lambda}{2} \]
যেখানে,
- \( n \): হারমোনিক সংখ্যা বা গুণিতক (\( n = 1, 2, 3, \dots \))।
- \( \lambda \): তরঙ্গদৈর্ঘ্য।
তরঙ্গদৈর্ঘ্য:
\[ \lambda = \frac{2L}{n} \]
কম্পাঙ্ক নির্ণয়
তরঙ্গের বেগ (\( v\)) এবং তরঙ্গদৈর্ঘ্য (\( \lambda \))-এর সম্পর্ক:
\[ v = f\lambda \]
যেখানে,
- \(v = \sqrt{\frac{T}{\mu}}\) :টানযুক্ত তারের তরঙ্গের বেগ।
- \( f\): কম্পাঙ্ক।
তাহলে, কম্পাঙ্ক:
\[ f = \frac{v}{\lambda} = \frac{n}{2L} \sqrt{\frac{T}{\mu}} \]
গুণিতক বা হারমোনিকের জন্য:
- \( n = 1 \): প্রাথমিক কম্পাঙ্ক (Fundamental frequency), \[ f_1 = \frac{1}{2L} \sqrt{\frac{T}{\mu}} \]
- \( n = 2, 3, \dots \): গুণিতক, \(f_n = n f_1\)।
স্থায়ী তরঙ্গের প্রকৃতি
- নোড (Node): স্থায়ী তরঙ্গের স্থানে কোনো সরণ থাকে না। এটি তারের স্থির বিন্দু।
- অ্যান্টিনোড (Antinode): স্থায়ী তরঙ্গের স্থানে সরণ সর্বাধিক হয়।
উদাহরণ
একটি \( 1 \, \text{m}\) দীর্ঘ টানযুক্ত তারে যেখানে \( T = 10 \, \text{N}\) এবং \( \mu = 0.01 \, \text{kgm} \), তার মৌলিক কম্পাঙ্ক নির্ণয় করতে:
- তরঙ্গের বেগ: \[ v = \sqrt{\frac{T}{\mu}} = \sqrt{\frac{10}{0.01}} = 100 \, \text{m/s} \]
- মৌলিক কম্পাঙ্ক: \[ f_1 = \frac{1}{2L} \sqrt{\frac{T}{\mu}} = \frac{1}{2 \times 1} \times 100 = 50 \, \text{Hz} \]
এই প্রক্রিয়ায়, তারের অন্যান্য হারমোনিক সহজেই নির্ণয় করা যায়।
টানা তারে আড় তরঙ্গের ক্ষেত্রে তরঙ্গের গতি এবং কম্পাঙ্ক নির্ণয় করার জন্য পদার্থবিজ্ঞানের কিছু গুরুত্বপূর্ণ সমীকরণ ব্যবহার করা হয়। নিচে এই সমীকরণটি ধাপে ধাপে প্রমাণ করা হলো:
টানা তারে আড় বা অনুপ্রস্থ তরঙ্গের বেগের রাশিমালা
মনে করি, টানে টান করা একটি তার আছে। তারটির যে কোন বিন্দুতে এর দৈর্ঘ্যের অভিলম্বভাবে টেনে ছেড়ে দিলে তার বরাবর একটি আড় তরঙ্গ সৃষ্টি হবে। এই তরঙ্গ একটি নির্দিষ্ট বেগে তার বেয়ে চলতে থাকে। এই বেগের মান তারের একক দৈর্ঘ্যের ভর ও তারের উপর প্রযুক্ত টানের উপর নির্ভর করে।
মনে করি আড় তরঙ্গ v বেগে AE তার বেয়ে বাম থেকে ডান দিকে চলছে। AE তারের বিচ্যুতি অংশের শীর্ষ BCD একটি বৃত্তচাপের আকার ধারণ করবে (চিত্র)। ধরা যাক, চাপটির মধ্যবিন্দু C। চাপটির ব্যাসার্ধ r এবং চাপটি বক্রতার কেন্দ্রে 2θ কোণ উৎপন্ন করেছে।
তারের শীর্ষবিন্দু C-এ বৃত্তাকার গতির জন্য প্রয়োজনীয় কেন্দ্রমুখী বল তরঙ্গের দু'প্রান্ত B এবং D-তে বিপরীতমুখী দুটি ক্রিয়াশীল টানা বল T থেকে পাওয়া যায়। এখন B ও D বিন্দুতে দুটি স্পর্শক টানা হয় এবং স্পর্শকদ্বয়কে বর্ধিত করলে এরা P বিন্দুতে মিলিত হয়।
এই বিন্দুতে টান বল T-কে অনুভূমিক ও উল্লম্ব উপাংশে বিভক্ত করলে দেখা যায় যে অনুভূমিক উপাংশদ্বয়ের প্রত্যেকটির মান T cos θ কিন্তু এদের দিক পরস্পর বিপরীত মুখী হওয়ায় একে অপরকে নাকচ করবে। PO বরাবর ক্রিয়াশীল প্রত্যেক উল্লম্ব উপাংশের মান T sin θ এবং এদের দিক একই হওয়ায় মোট কার্যকর বল হবে 2T sin θ।
\(PO\) বরাবর মোট কার্যকর বল = \( 2T \sin \theta\)
\(θ\)-এর মান ক্ষুদ্র বলে, \(\sin \theta = \theta\)
সুতরাং মোট কার্যকর বল:
\[ = 2T \theta \] \[ = 2T \cdot \frac{\delta l}{2r} \] [ \(\because\) \( 2\theta = \frac{\delta l}{r}\) বা, \( \theta = \frac{\delta l}{2r}\)] \[ = \frac{T \cdot \delta l}{r} -- -- -- (১) \]
এখানে, \(\delta l =\) চাপ \(BCD\)-এর দৈর্ঘ্য।
এই বল কেন্দ্রসূত্রীয় তুরণ সৃষ্টি করবে এবং এই কেন্দ্রমুখী ত্বরণ:
\[ f = \frac{v^2}{r} \]
কেন্দ্রসূত্রীয় বল:
\[ = m \cdot \frac{\delta l \cdot v^2}{r} -- -- -- (২) \]
সমীকরণ (১) এবং (২) থেকে পাই,
\[ \frac{T \cdot \delta l}{r} = m \cdot \frac{\delta l \cdot v^2}{r} \]
বা,
\[ m \cdot v^2 = T \]
বা,
\[ v^2 = \frac{T}{m} \]
অতএব,
\[ v = \sqrt{\frac{T}{m}} \]
এটি হলো টানা তারে আড় তরঙ্গের বেগ বা গতির মান।
টানা তারে আড় তরঙ্গের ক্ষেত্রে তরঙ্গের কম্পাঙ্কের রাশিমালা
\[ n = \frac{1}{2l} \sqrt{\frac{T}{\pi r^2 \rho}} \]
এখানে:
- \(n\): তরঙ্গের কম্পাঙ্ক
- \(l\): তারের দৈর্ঘ্য
- \(T\): তারের উপর টান
- \(r\): তারের ব্যাসার্ধ
- \(\rho\): তারের ঘনত্ব
প্রমাণ:
প্রথমে তরঙ্গের গতির সমীকরণ:
\[ v = \sqrt{\frac{T}{\mu}} \]
এখানে, \(\mu\) হলো একক দৈর্ঘ্যের ভর:
\[ \mu = \pi r^2 \rho \]
তাহলে তরঙ্গের গতি:
\[ v = \sqrt{\frac{T}{\pi r^2 \rho}} \]
তরঙ্গের কম্পাঙ্ক ও দৈর্ঘ্যের সম্পর্ক:
\[ v = n \cdot \lambda \]
যেখানে, মৌলিক অবস্থায় \(\lambda = 2l\), সুতরাং:
\[ n = \frac{v}{2l} = \frac{1}{2l} \sqrt{\frac{T}{\pi r^2 \rho}} \]
এইভাবে, প্রমাণিত হলো:
\[ n = \frac{1}{2l} \sqrt{\frac{T}{\pi r^2 \rho}} \]
টানা তারে আড় কম্পনের সূত্রাবলি (Laws of transverse vibration of a stretched strin
আমরা জানি আড় তরঙ্গের প্রাবল্যের ক্ষেত্রে,
$$n = \frac{1}{2l} \sqrt{\frac{T}{m}} = \frac{1}{2l} \sqrt{\frac{T}{\rho l}} $$
উপরের সমীকরণগুলো হতে দেখা যাচ্ছে যে, তারের আড় কম্পনের কম্পাঙ্ক \(n\) মূলত তারের দৈর্ঘ্য \(l\), টানা \(T\), এবং প্রতি একক দৈর্ঘ্যের ভর \(m\)-এর উপর নির্ভর করে। অতএব টানা তারের আড় কম্পনের তিনটি সূত্র পাওয়া যায়।
সূত্রগুলো নিম্নরূপ:
১) দৈর্ঘ্যের সূত্র:
\(T\) ও \(m\) স্থির থাকলে টানা তারের আড় তরঙ্গের কম্পাঙ্ক তার দৈর্ঘ্যের ব্যস্তানুপাতিক।
কম্পাঙ্ক \(n\) এবং দৈর্ঘ্য \(l\) হলে,
$$n \propto \frac{1}{l}, $$
যখন \( T \) ও \( m \) স্থির থাকে।
২) টানের সূত্র:
\(l\) ও \(m\) স্থির থাকলে টানা তারের আড় তরঙ্গের কম্পাঙ্ক তার টানের বর্গমূলের সমানুপাতিক।
কম্পাঙ্ক \(n\) এবং টান \(T\) হলে,
$$n \propto \sqrt{T}, $$
যখন \( l \) ও \( m \) স্থির থাকে।
৩) ভরের সূত্র:
\(T\) ও \(l\) স্থির থাকলে টানা তারের আড় তরঙ্গের কম্পাঙ্ক তারের প্রতি একক দৈর্ঘ্যের ভরের বর্গমূলের ব্যস্তানুপাতিক।
কম্পাঙ্ক \(n\) এবং তারের একক দৈর্ঘ্যের ভর \(m\) হলে,
$$n \propto \frac{1}{\sqrt{m}}, $$
যখন \( T \) ও \( l \) স্থির থাকে।
গাণিতিক সমস্যা ও সমাধান
\( 150 \) সেমি দৈর্ঘ্যের একটি টানা তার একটি সুদৃঢ় কাঠের সাথে দোলকায় বাঁধা আছে। টান চারগুণ করলে দোলকায় তার দৈর্ঘ্য কত করতে হবে?
আমরা জানি,
\( n_1 = \frac{1}{2l_1} \sqrt{\frac{T}{m}} \) --- (1)
\(n_2 = \frac{1}{2l_2} \sqrt{\frac{4T}{m}} \) --- (2)
প্রমাণত, \(n_1 = n_2 \)
\(\frac{1}{2l_1} \sqrt{\frac{T}{m}} = \frac{1}{2l_2} \sqrt{\frac{4T}{m}} \)
\(\sqrt{\frac{T}{m}} \cdot l_1 = \sqrt{\frac{4T}{m}} \cdot l_2 \)
\(\frac{T}{m} = \frac{l_1^2}{l_2^2} \cdot \frac{4T}{m} \)
\(l_2^2 = l_1^2 \cdot 4 \)
\(l_2 = 2 \cdot l_1 \)
\(l_2 = 2 \cdot 0.50 \)
\(l_2 = 1 \, \text{m} \)
উপসংহার
টানা তারের কম্পন পদার্থবিজ্ঞানের একটি গুরুত্বপূর্ণ বিষয় যা তরঙ্গের বৈশিষ্ট্য এবং তাদের গতি নির্ধারণ করে। এই আর্টিকেলে আমরা টানা তারের কম্পনের বর্ণনা, ব্যাখ্যা, সূত্র প্রতিপাদন এবং টানা তারের সূত্রসমূহ নিয়ে আলোচনা করেছি। আশা করি এটি আপনার জন্য সহায়ক হবে।