বিয়োঁ-স্যাঁভার সূত্রের প্রয়োগ: অসীম দৈর্ঘ্যের তড়িৎবাহী তারের জন্য চৌম্বকক্ষেত্রের মান ও গাণিতিক সমাধান

বিয়োঁ-স্যাঁভার সূত্রের প্রয়োগ (Applications of Biot-Savart's Law)

ভূমিকা

বিয়োঁ-স্যাঁভার সূত্র (Biot-Savart Law) একটি মৌলিক সূত্র যা বৈদ্যুতিক প্রবাহের ফলে উৎপন্ন চৌম্বক ক্ষেত্রের গঠন বুঝতে সাহায্য করে। এটি বিশেষত বৈদ্যুতিক প্রবাহের মধ্যে যেকোনো অবস্থানে চৌম্বক ক্ষেত্রের শক্তি নির্ধারণ করতে ব্যবহৃত হয়। এই সূত্রটি মূলত তড়িৎ প্রবাহের একটি ক্ষুদ্র উপাদানের দ্বারা উৎপন্ন চৌম্বক ক্ষেত্রের পরিমাপের উপর ভিত্তি করে এবং চৌম্বক ক্ষেত্রের দিকে প্রভাব ফেলার জন্য তড়িৎ প্রবাহের অক্ষের অবস্থান ও দিকনির্দেশনা নির্ধারণ করে।

বিয়োঁ-স্যাঁভার সূত্রের ভেক্টর রূপ হলো:

\[ \mathbf{B} = \frac{\mu_0}{4\pi} \int \frac{I \, d\mathbf{l} \times \mathbf{r}}{r^3} \] এখানে, \(\mathbf{B}\) হল চৌম্বক ক্ষেত্র, \(\mu_0\) হল মুক্ত স্থানীয় চৌম্বক permeability, \(I\) হল তড়িৎ প্রবাহ, \(d\mathbf{l}\) হল তড়িৎ প্রবাহের ক্ষুদ্র উপাদান, \(\mathbf{r}\) হল তড়িৎ প্রবাহ থেকে পর্যবেক্ষণের স্থান পর্যন্ত সোজা লাইনের ভেক্টর এবং \(r\) হল সেই লাইনের দৈর্ঘ্য।

এখন, বিয়োঁ-স্যাঁভার সূত্রের বিভিন্ন প্রয়োগ এবং একটি গাণিতিক উদাহরণ ও সমাধানের মাধ্যমে বিষয়টি আরও পরিষ্কার করা যাক।

অসীম দৈর্ঘ্যের তড়িৎবাহী সরল তারের দরুন সৃষ্ট চৌম্বকক্ষেত্র

বায়ু বা শূন্যস্থানে একটি দীর্ঘ ও সোজা পরিবাহী তার \(XY\) বিবেচনা করা যাক [চিত্র দেখুন]। এর ভেতর দিয়ে \(X\) থেকে \(Y\) এর দিকে \(I\) প্রবাহ চলছে। এই তড়িৎ প্রবাহের ফলে \(P\) বিন্দুতে সৃষ্ট চৌম্বকক্ষেত্র \(B\) হিসাব করতে হবে।

মনকরি,
\(QP = a\) = পরিবাহীর মধ্যবিন্দু থেকে \(P\) বিন্দুর দূরত্ব।
\(dl\) = পরিবাহীর মধ্যবিন্দু থেকে \(l\) দূরত্বে অবস্থিত পরিবাহীর ক্ষুদ্রাতিক্ষুদ্র দৈর্ঘ্য।
\(r = dl\) এর মধ্যবিন্দু থেকে P বিন্দুর দূরত্ব।
\(I\) = পরিবাহীতে তড়িৎ প্রবাহ।
\( \theta \) = তড়িৎপ্রবাহ \(I\) বা \(dl\) এবং \(OP\) এর মধ্যবর্তী কোণ।

এখন বিয়ো-স্যাভাঁর সূত্র থেকে আমরা ক্ষুদ্র প্রবাহ উপাদানের জন্য \(P\) বিন্দুতে চৌম্বক ক্ষেত্রের মান পাই, \[ dB = \frac{\mu_{0}}{4\pi}.\frac{Idl sin\theta}{r^{2}} \]

এই সমীকরণকে যোগজীকরণ করে অসীম দৈর্ঘ্যের সরল পরিবাহীর জন্য \(P\) বিন্দুতে মোট চৌম্বকক্ষেত্রের মান পাওয়া যাবে। যেহেতু পরিবাহীটি অসীম দৈর্ঘ্যের, সুতরাং যোগজীকরণের সীমা হবে \(l= -\infty\) থেকে \(l= +\infty\) পর্যন্ত।

$$B=\int_{-\infty}^{\infty} dB = \int_{-\infty}^{\infty} \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{I dl \sin{\theta}}{r^2}$$ $$\therefore B = \frac{\mu_0 I}{4\pi} \int_{-\infty}^{\infty} \frac{dl \sin{\theta}}{r^2}$$ ........... (1)

এই সমীকরণের \(r,\) \(θ\) এবং \(dl\) পরস্পর সম্পর্কযুক্ত হওয়ায় এই যোগসূত্রের সম্পন্ন করার জন্য এদেরকে একটি মাত্র চক্রের মাধ্যমে প্রকাশ করতে হবে। (ক) চিত্র থেকে-

\[ cot θ = \frac{-l}{a}\] [ \(l\) হচ্ছে \(Q\) বিন্দুর বাম দিকে]

\[ \therefore \, - l = a cot θ \] .............. (2)

অন্তরীকরণ করে, \(dl = a \, cosec² \theta \, d\theta \)
আবার, \( cosec \, \theta = \frac{r}{a}\)
বা, \(r = a cosec \, \theta \)
যোগজীকরণের সীমা নির্ধারণের জন্য (2) সমীকরণ বা (খ) চিত্র থেকে আমরা পাই,
যখন \( l = - \infty\) , তখন \( \theta=0\)
এবং যখন \( l = - \infty\) , তখন \( \theta= \pi \)

সুতরাং (4.8) সমীকরণ দাঁড়ায়
\[ B = \frac{\mu_{0}I}{4\pi} \, \int_{0}^{\pi} \frac{(a \, cosec^{2} \, \theta \, d\theta) \, sin\theta}{a^{2} \, cosec^{2}\theta }\] \[ B = \frac{\mu_{0}I}{4\pi a} . \int_{0}^{\pi} \, sin\theta \, d\theta\] \[ B = - \, \frac{\mu_{0}I}{4\pi a} \, [ cos\theta ]_{0}^{\pi}\] \[ B = - \, \frac{\mu_{0}I}{4\pi a} \, [ cos \pi - cos \, 0]\] \[ B = - \, \frac{\mu_{0}I}{4\pi a} \, [ - 1 - 1]\] \[ B = - \, \frac{\mu_{0}I}{4\pi a} \, [ - 2]\] \[ B = \, \frac{\mu_{0}I}{2\pi a}\]. . . . . . . (3)

সুতরাং অসীম দৈর্ঘ্যের সরল তড়িৎবাহী তারের জন্য চৌম্বকক্ষেত্রের মান, \( B = \frac{\mu_{0}I}{2\pi a} \)

গাণিতিক সমস্যা ও সমাধান:

একটি দীর্ঘ সোজা তারের ভিতর দিয়ে 10 A তড়িৎ প্রবাহ চলছে। তার থেকে 0.25 m দূরে যেকোনো বিন্দুতে চৌম্বক ফ্লাক্স ঘনত্বের মান নির্ণয় কর।

দেওয়া আছে:
তড়িৎ প্রবাহ, \(I = 10 \, A \)
দূরত্ব, \(a = 0.25 \, m\)
শূন্যস্থানের চৌম্বক প্রবেশ্যতা, \( \mu_{0} = 4π \times 10_{-7} \, Wb/A·m\)
চৌম্বক ফ্লাক্স ঘনত্ব, \(B = ?\)

সমাধান: দীর্ঘ সোজা তারের ক্ষেত্রে চৌম্বক ফ্লাক্স ঘনত্বের সূত্র: \[B = \frac{μ₀I}{2πa}\] এখন, সূত্রে মান বসিয়ে পাই:, \[B = \frac{4π × 10^{-7} \, Wb/A·m \times 10 \, A}{2π × 0.25 \, m}\] \[B = \frac{4 × 10^{-6} \, Wb/m}{2 \times 0.25 \, m}\] \[B = 8 \times 10^{-6} \, T\]

সুতরাং, চৌম্বক ফ্লাক্স ঘনত্ব, \(B = 8 × 10^{-6} \, T\)

উত্তর: তার থেকে \(0.25 \, m\) দূরে যেকোনো বিন্দুতে চৌম্বক ফ্লাক্স ঘনত্বের মান হল \(16 \times 10^{-6}\) টেসলা।

উপসংহার

বিয়োঁ-স্যাঁভার সূত্রের মাধ্যমে আমরা বৈদ্যুতিক বর্তমানের দ্বারা উৎপন্ন চৌম্বক ক্ষেত্রের গঠন ও বৈশিষ্ট্য সম্পর্কে গভীর ধারণা লাভ করি। এই সূত্রটির ব্যবহার আমাদের বাস্তব জীবনের বিভিন্ন চৌম্বক ক্ষেত্রের উদ্ভাবন ও বিশ্লেষণে সহায়ক হয়।

"বিয়োঁ-স্যাঁভার সূত্রের প্রয়োগ ও অসীম দৈর্ঘ্যের সরল তড়িৎবাহী তারের জন্য চৌম্বকক্ষেত্রের মান নিয়ে লেখা আর্টিকেলটি যদি আপনার ভালো লাগে, তবে অবশ্যই লাইক, কমেন্ট, এবং শেয়ার করতে ভুলবেন না! 💡 আরও এমন শিক্ষামূলক কনটেন্টের জন্য আমাদের সাথেই থাকুন!"