পরিচয়
গত শতাব্দীর মধ্যভাগে জার্মান পদার্থবিজ্ঞানী গুস্তাভ কার্শফ দুটি মৌলিক সূত্র প্রদান করেন, যা বর্তনী বিশ্লেষণের মূল ভিত্তি। এই সূত্র দুটি হল কার্শফের বর্তনী সূত্র (KCL) এবং কার্শফের ভোল্টেজ সূত্র (KVL)। এই সূত্র দুটির সাহায্যে আমরা যেকোনো জটিল বর্তনীর বিশ্লেষণ করতে পারি এবং বর্তনীতে প্রবাহিত বিদ্যুৎ ও বিভিন্ন বিন্দুর বিভব নির্ণয় করতে পারি।
কার্শফের সূত্র দুটি প্রধান অংশে বিভক্ত: কার্শফের বর্তনী সূত্র (Kirchhoff's Current Law, KCL) এবং কার্শফের ভোল্টেজ সূত্র (Kirchhoff's Voltage Law, KVL)।
কার্শফের কারেন্ট সূত্র (KCL)
কার্শফের এই সূত্র (Kirchhoff's Current Law, KCL) বলে যে, একটি বৈদ্যুতিক বর্তনীর কোনো সংযোগ বিন্দুতে প্রবেশ করা এবং বের হওয়া তড়িৎ প্রবাহের বীজগাণিতিক যোগফল শূন্য হয়। এটি চার্জ সংরক্ষণের নীতির উপর ভিত্তি করে তৈরি।
প্রতিপাদন:
1. একটি সংযোগ বিন্দুতে \(i_1, i_2, i_3, \ldots, i_n\) প্রবাহ প্রবেশ করছে এবং \(i_{n+1}, i_{n+2}, \ldots, i_m\) প্রবাহ বের হচ্ছে।
2. চার্জ সংরক্ষণের নীতি অনুযায়ী, প্রবেশ করা চার্জের সমান পরিমাণ চার্জ বের হতে হবে।
3. সুতরাং, $$i_1 + i_2 + \ldots + i_n $$ $$= i_{n+1} + i_{n+2} + \ldots + i_m$$
4. একে বীজগাণিতিকভাবে প্রকাশ করলে, $$\sum_{k=1}^{n} i_k - \sum_{k=n+1}^{m} i_k = 0$$
কার্শফের ভোল্টেজ সূত্র (KVL)
কার্শফের ভোল্টেজ সূত্র (Kirchhoff's Voltage Law, KVL) বলে যে, একটি বদ্ধ লুপের মধ্যে থাকা সমস্ত রোধ এবং সংশ্লিষ্ট তড়িৎ প্রবাহের গুণফলের বীজগাণিতিক সমষ্টি ওই লুপের মধ্যে থাকা তড়িৎ উৎসগুলির তড়িৎচালক বলের বীজগাণিতিক সমষ্টির সমান।
প্রতিপাদন:
1. একটি বদ্ধ লুপে \(V_1, V_2, V_3, \ldots, V_n\) ভোল্টেজ ড্রপ এবং \(E_1, E_2, \ldots, E_m\) তড়িৎ উৎস রয়েছে।
2. লুপের চারপাশে ভোল্টেজ ড্রপ এবং উৎসের যোগফল শূন্য হবে।
3. সুতরাং, $$V_1 + V_2 + \ldots + V_n $$ $$= E_1 + E_2 + \ldots + E_m$$
4. একে বীজগাণিতিকভাবে প্রকাশ করলে, $$\sum_{k=1}^{n} V_k - \sum_{k=1}^{m} E_k = 0$$
এই প্রতিপাদনগুলি কার্শফের সূত্রের মূল ভিত্তি এবং বৈদ্যুতিক বর্তনী বিশ্লেষণে অত্যন্ত গুরুত্বপূর্ণ।
কার্শফের সূত্রের ব্যবহারিক প্রয়োগ
বর্তনী বিশ্লেষণ: যেকোনো জটিল বর্তনীর বিশ্লেষণ করতে KCL এবং KVL ব্যবহার করা হয়।
ইলেকট্রনিক্স: অ্যামপ্লিফায়ার, অসিলেটর ইত্যাদি ইলেকট্রনিক্স ডিভাইস ডিজাইনে KCL এবং KVL ব্যবহৃত হয়।
পাওয়ার সিস্টেম: পাওয়ার সিস্টেমের বিশ্লেষণে KCL এবং KVL ব্যবহৃত হয়।
সার্কিট সিমুলেশন: স্পাইস, ম্যাটল্যাব ইত্যাদি সফটওয়্যারে KCL এবং KVL ব্যবহার করে বর্তনী সিমুলেশন করা হয়।
গাণিতিক সমস্যা ও সমাধান
[পরবর্তীতে বিভিন্ন জটিলতর বর্তনীর উদাহরণ দিয়ে KCL এবং KVL ব্যবহার করে সমাধান দেখানো হবে। ম্যাটল্যাব বা স্পাইসের মতো সফটওয়্যার ব্যবহার করে সমাধানের উদাহরণও দেওয়া হবে।] সীমাবদ্ধতা ও ভবিষ্যতের দিক KCL এবং KVL দুটিই আদর্শ অবস্থার জন্য প্রযোজ্য। বাস্তব জীবনে, প্যারাসিটিক ক্যাপাসিট্যান্স এবং ইন্ডাকট্যান্সের কারণে এই সূত্রগুলোতে কিছু ভুল হতে পারে। তবে, বেশিরভাগ ক্ষেত্রে KCL এবং KVL খুব ভাল ফলাফল দেয়। ভবিষ্যতে, আরো জটিল বর্তনী বিশ্লেষণের জন্য KCL এবং KVL এর সাথে অন্যান্য সূত্র এবং পদ্ধতি যুক্ত করে নতুন পদ্ধতি উদ্ভাবিত হতে পারে।
গাণিতিক উদাহরণ:
ধরা যাক, একটি নোডে তিনটি কারেন্ট প্রবেশ করছে: $$ I_1 = 3 \, A $$ $$ I_2 = 4 \, A $$ এবং $$ I_3 = 2 \, A $$ নোড থেকে নির্গত কারেন্ট $$ I_4 $$ নির্ণয় করতে হবে। KCL সূত্র অনুযায়ী: $$ I_1 + I_2 + I_3 = I_4 $$ $$ 3 + 4 + 2 = I_4 $$ $$ I_4 = 9 \, A $$
গাণিতিক উদাহরণ:
একটি বদ্ধ লুপে তিনটি রোধ রয়েছে: $$ R_1 = 2 \, \Omega $$ $$ R_2 = 3 \, \Omega $$ এবং $$ R_3 = 5 \, \Omega $$ লুপে মোট ভোল্টেজ $$ V = 10 \, V $$। KVL সূত্র অনুযায়ী: $$ V - (I \cdot R_1 + I \cdot R_2 + I \cdot R_3) = 0 $$ $$ 10 - I (2 + 3 + 5) = 0 $$ $$ 10 - 10I = 0 $$ $$ I = 1 \, A $$
গাণিতিক উদাহরণ:
সমাধান: B বিন্দুতে কার্শফের প্রথম সূত্র প্রয়োগ করে পাই,
\(I - I_{1} - I_{2} = 0\) ....................... (১)
ABCA লুপের জন্য কার্শফের দ্বিতীয় সূত্র প্রয়োগ করে পাই,
\(100 I_{1} + 200 I = 10\)
বা, \(10 I_{1} + 20 I = 1\); ................... (২)
ABDA লুপের জন্য কার্শফের দ্বিতীয় সূত্র প্রয়োগ করে পাই,
\(-200 I - 150 I_{2} = -30\)
বা, \(20 I + 15 I_{2} = 3\)
বা, \(20 I + 15 (I - I_{1}) = 3\)
বা, \(35 I - 15 I_{1} = 3\) ................. (৩)
সমীকরণ (২) × ৩ + সমীকরণ (৩) × ২ করে পাই,
\(130 I = 9\)
বা, \(I = \frac{9}{130}\) A \(= 69.2\) mA
এখন,
\(V_{AB} = IR = \frac{9}{130} \times 200\) volt
\( \therefore\)\( V_{AB} = 13.85\) V
প্রবাহ, 16.9 mA; বিভব পার্থক্য, 13.85 V !
কার্শফের সূত্রগুলি ব্যবহার করে জটিল তড়িৎ বর্তনী সহজেই বিশ্লেষণ করা যায় এবং বিভিন্ন গাণিতিক সমস্যার সমাধান করা সম্ভব হয়।
উপসংহার
কার্শফের সূত্র বর্তনী বিশ্লেষণের মূল ভিত্তি। এই সূত্র দুটির সাহায্যে আমরা যেকোনো জটিল বর্তনীর বিশ্লেষণ করতে পারি এবং বর্তনীতে প্রবাহিত বিদ্যুৎ ও বিভিন্ন বিন্দুর বিভব নির্ণয় করতে পারি। KCL এবং KVL ইলেকট্রনিক্স, পাওয়ার সিস্টেম ইত্যাদি বিভিন্ন ক্ষেত্রে ব্যবহৃত হয়। ভবিষ্যতে, আরো জটিল বর্তনী বিশ্লেষণের জন্য KCL এবং KVL এর সাথে অন্যান্য সূত্র এবং পদ্ধতি যুক্ত করে নতুন পদ্ধতি উদ্ভাবিত হতে পারে।