অভিকর্ষজ ত্বরণের পরিবর্তন: সমীকরণসহ একটি বিশদ বিশ্লেষণ

টপিকের বিষয়বস্তু

• অভিকর্ষজ ত্বরণ কী?
• বিভিন্ন স্থানে অভিকর্ষজ ত্বরণের পরিবর্তন
• পৃথিবীর পৃষ্ঠে অভিকর্ষজ ত্বরণ
• পৃথিবীর পৃষ্ঠ থেকে h উচ্চতায় অভিকর্ষজ ত্বরণ
• পৃথিবীর পৃষ্ট থেকে h গভীরে অভিকর্ষজ ত্বরণ
• এবং তাদের সমীকরণ
• পৃথিবীর কেন্দ্রে অভিকর্ষজ ত্বরণ

ভূমিকাঃ আমরা সকলেই জানি পৃথিবীর প্রতিটি বস্তুকে নিজের দিকে আকর্ষণ করে। এই আকর্ষণ বলকে মহাকর্ষ বল বলে। আর এই মহাকর্ষ বলের কারণেই একটি বস্তু যখন মুক্তভাবে পড়ে তখন তা একটি নির্দিষ্ট ত্বরণে পড়ে। এই ত্বরণকেই আমরা অভিকর্ষজ ত্বরণ বলি। কিন্তু এই অভিকর্ষজ ত্বরণ কি সব জায়গায় একই থাকে? আজকের এই ব্লগ পোস্টে আমরা এই প্রশ্নের উত্তর খুঁজে বের করব এবং বিভিন্ন অবস্থায় অভিকর্ষজ ত্বরণের মান নির্ণয়ের জন্য প্রয়োজনীয় সমীকরণগুলো বিশ্লেষণ করব।

অভিকর্ষজ ত্বরণ কী?

অভিকর্ষজ ত্বরণ হল সেই ত্বরণ যার কারণে একটি বস্তু পৃথিবীর কেন্দ্রের দিকে মুক্তভাবে পড়ে। এর মান সাধারণত g দিয়ে প্রকাশ করা হয় এবং এর মান প্রায় \(9.8 \, {m}{s^{-2}}\)।।

বিভিন্ন স্থানে অভিকর্ষজ ত্বরণের পরিবর্তন

অভিকর্ষজ ত্বরণের মান বিভিন্ন কারণে পরিবর্তিত হয়। এর মধ্যে উল্লেখযোগ্য কারণ হল:

• উচ্চতা: পৃথিবীর পৃষ্ঠ থেকে উচ্চতার সাথে সাথে অভিকর্ষজ ত্বরণের মান কমে যায়। কারণ, পৃথিবীর কেন্দ্র থেকে দূরত্ব বাড়ার সাথে সাথে মহাকর্ষ বল কমে যায়।
• গভীরতা: পৃথিবীর পৃষ্ঠ থেকে গভীরতার সাথে সাথেও অভিকর্ষজ ত্বরণের মান কমে যায়। কারণ, আমরা যখন পৃথিবীর অভ্যন্তরে যাই তখন আমাদের উপর কেবল নিচের দিকের ভরের আকর্ষণ কাজ করে।
• পৃথিবীর আকার: পৃথিবী সম্পূর্ণ গোলাকার নয়। এর মেরু অঞ্চল চ্যাপ্টা এবং বিষুবীয় অঞ্চল উঁচু। ফলে মেরু অঞ্চলে অভিকর্ষজ ত্বরণের মান বিষুবীয় অঞ্চলের তুলনায় বেশি।
• পৃথিবীর ঘূর্ণন: পৃথিবীর ঘূর্ণনের কারণেও অভিকর্ষজ ত্বরণের মানে কিছুটা পরিবর্তন হয়।

পৃথিবীর পৃষ্ঠে, পৃথিবীর পৃষ্ঠ থেকে h উচ্চতায়, পৃথিবীর পৃষ্ট থেকে h গভীরে অভিকর্ষজ ত্বরণ এবং সমীকরণ

ক. বস্তুর অবস্থান পৃথিবীর পৃষ্ঠে:

পৃথিবীর পৃষ্ঠে অভিকর্ষজ ত্বরণের মান সর্বোচ্চ হয়। কারণ, এই অবস্থায় বস্তু পৃথিবীর কেন্দ্রের সবচেয়ে কাছে থাকে।

পৃথিবীর পৃষ্ঠে স্থানভেদে অভিকর্ষজ ত্বরণের মান

• মেরু অঞ্চল: এখানে পৃথিবীর ব্যাসার্ধ কম হওয়ায় অভিকর্ষজ ত্বরণের মান বেশি।
• বিষুবীয় অঞ্চল: এখানে পৃথিবীর ব্যাসার্ধ বেশি হওয়ায় অভিকর্ষজ ত্বরণের মান কম।
• উচ্চ পর্বত: যেমন হিমালয় পর্বতে, উচ্চতার কারণে অভিকর্ষজ ত্বরণের মান কম।

খ. ভূপৃষ্ঠ থেকে h উচ্চতায় অভিকর্ষজ ত্বরণ

এই অবস্থায় অভিকর্ষজ ত্বরণের মান \(g'\) হলে,

\[g' = g \left(1-\frac{2h}{R}\right)\]

যেখানে,

• g = পৃথিবীর পৃষ্ঠে অভিকর্ষজ ত্বরণ
• R = পৃথিবীর ব্যাসার্ধ
• h = বস্তুর উচ্চতা

প্রমাণঃ, আমরা জানি যে ভূপৃষ্ঠে অভিকর্ষজ ত্বরণের মান \( g \) হল:

\[ g = \frac{GM}{R^2} \]

এখানে,

• \( G \) হল মহাকর্ষ ধ্রুবক,
• \( M \) হল পৃথিবীর ভর,
• \( R \) হল পৃথিবীর ব্যাসার্ধ।

এখন, যদি কোনো বস্তু ভূপৃষ্ঠ থেকে \( h \) উচ্চতায় থাকে, তাহলে সেই অবস্থানে অভিকর্ষজ ত্বরণের মান \( g' \) হবে:

\[ g' = \frac{GM}{(R+h)^2} \]

এখন, আমরা \( g' \) এবং \( g \) এর অনুপাত বের করি:

\[ \frac{g'}{g} = \frac{\frac{GM}{(R+h)^2}}{\frac{GM}{R^2}} \]

এখানে \( GM \) কেটে গেলে, আমরা পাই: \[ \frac{g'}{g} = \frac{R^2}{(R+h)^2}\]

বা, \[ \frac{g'}{g} = \left(\frac{R}{R+h} \right)^2\]

বা, \[ \frac{g'}{g} = \frac{1}{\left(\frac{R+h}{R}\right)^2}\]

বা, \[ \frac{g'}{g} = \left(\frac{R+h}{R}\right)^{-2}\]

বা, \[ \frac{g'}{g} = \left(1 + \frac{h}{R}\right)^{-2}\]

\( h \ll R \) তাই, \( \frac{h}{R}\) এর উচ্চ ঘাত বাদ দেয়া যায়।

\[\therefore \, \frac{g'}{g} = \left(1 - \frac{2h}{R}\right)\]

অতএব, \( g' \) এর মান হবে:

\(g' = g \left(1-\frac{2h}{R}\right)\)

এইভাবে, আমরা গাণিতিকভাবে প্রমাণ করতে পারি যে, ভূপৃষ্ঠ থেকে \( h \) উচ্চতায় অভিকর্ষজ ত্বরণের মান \( g' \) হল:

\[g' = g \left(1-\frac{2h}{R}\right)\]

এই সমীকরণটি দেখায় যে উচ্চতা বৃদ্ধির সাথে সাথে অভিকর্ষজ ত্বরণের মান কমে যায়, যা মহাকর্ষীয় বলের বৈশিষ্ট্য।

গ. বস্তুর অবস্থান ভূপৃষ্ঠ থেকে h গভীরতায়

এই অবস্থায় অভিকর্ষজ ত্বরণের মান g'' হলে,

আমরা জানি যে ভূপৃষ্ঠে অভিকর্ষজ ত্বরণ \( g \) এর মান হল:

$$ g = \frac{GM}{R^2} $$

এখানে,

• \( G \) হল মহাকর্ষ ধ্রুবক,
• \( M \) হল পৃথিবীর ভর,
• \( R \) হল পৃথিবীর ব্যাসার্ধ।

এখন, যদি কোনো বস্তু ভূপৃষ্ঠ থেকে \( h \) গভীরতায় থাকে, তাহলে সেই অবস্থানে অভিকর্ষজ ত্বরণ \( g'' \) হবে:

$$ g'' = \frac{GM'}{(R-h)^2} $$

এখানে, ভর \( M' \) হল:

পৃথিবীর \(R-h\) অংশের ভর।

$$ \therefore \, M' = \frac{4}{3} \pi (R-h)^3 \rho $$

এখানে,

• \( \rho \) হল পৃথিবীর গড় ঘনত্ব।

তাহলে, \( g'' \) এর মান হবে:

$$ g'' = \frac{G \times \frac{4}{3} \pi (R-h)^3 \rho}{(R-h)^3} $$

বা, $$ g'' = \frac{4}{3} \pi G(R-h) \rho $$

এখন, \( g" \) এর মানের সাথে \( g \) এর মানের অনুপাত করলে পাই:

$$ \frac{g"}{g} = \frac{\frac{4}{3} \pi G \rho(R-h)}{\frac{GM}{R^{2}}}$$

বা, $$ \frac{g"}{g} = \frac{\frac{4}{3} \pi G \rho(R-h)R^{2}}{GM}$$

বা, $$ \frac{g"}{g} = \frac{\frac{4}{3} \pi G \rho(R-h)R^{2}}{G \times \frac{4}{3} \pi R^{3} \rho }$$

এখানে,

• \(M = \frac{4}{3} \pi R^{3}\rho = \) হলো পৃথিবীর ভর।

তাহলে, \( g'' \) এর মান হবে:

$$ \frac{g"}{g} = \frac{R-h}{R} $$

এইভাবে, আমরা প্রমাণ করতে পারি যে:

\( g'' = g\left(1 - \frac{h}{R}\right)\)

এই সমীকরণটি দেখায় যে, ভূপৃষ্ঠ থেকে \( h \) গভীরতায় অভিকর্ষজ ত্বরণের মান \( g'' \) হল ভূপৃষ্ঠের অভিকর্ষজ ত্বরণ \( g \) এর সাথে \( g'' = \left(1 - \frac{h}{R}\right)\) এর গুণফল।

অর্থাৎ, \(g" \lt g\)

পৃথিবীর পৃষ্ঠ থেকে নিচের দিকে অভিকর্ষজ ত্বরণের মান কমতে থাকে।

পৃথিবীর কেন্দ্রে অভিকর্ষজ ত্বরণ

পৃথিবীর কেন্দ্রে, \( h = R\).

তাই, পৃথিবীর কেন্দ্রে অভিকর্ষজ ত্বরণ মান $$ g" = g\left( 1 -\frac{R}{R} \right)$$

বা, $$ g" = g( 1 - 1 )$$

বা, $$ g" = g \times 0$$

বা, $$ g" = 0$$

পৃথিবীর কেন্দ্রে অভিকর্ষজ ত্বরণ,

\( g" =0\)

উপসংহার

অভিকর্ষজ ত্বরণ একটি গুরুত্বপূর্ণ ধারণা। আমরা দেখলাম যে, অভিকর্ষজ ত্বরণ সর্বত্র একই থাকে না। বরং বিভিন্ন কারণে এর মান পরিবর্তিত হয়। এই জ্ঞান বিভিন্ন ক্ষেত্রে, যেমন- উপগ্রহ প্রক্ষেপণ, রকেট বিজ্ঞান ইত্যাদি কাজে লাগে।